离散数学及其应用 第一章：集合论
离散数学及其应用 第一章：集合论
- 集合
- 集合的表示
- 集合的关系
- 空集
- 基数
- 幂集
- 集合的运算
- 运算定理
- 无限集
- 可数集和不可数集
- 定理
集合
集合也没什么说的，集合的三大性质：确定性、互异性、无序性，从高中、初中一路走来也十分熟悉。有几种重要的集合需要记一下。
NNN是自然数集合：0,1,2,…;
ZZZ是整数集合：…-2,-1,0,1,2,…;
QQQ是有理数集合；
RRR是实数集合；
CCC是复数集合；
集合的表示
- 枚举法：一个一个写；
- 叙述法：刻画集合中元素的某种特性，可以理解为是下了一个定义；
- 归纳法：稍微有点复杂，主要有以下三部分构成
- 基础，指出某些最基本的元素属于某集合
- 归纳，指出由基本元素构造新元素的方法
- 极小性，指出该集合的边界
例：
1）0和1都是A中的元素
2）如果a,b是A中的元素，则ab,ba也是A中的元素
3）有限次使用（1）、（2）后所得到的字符串都是A中的元素
这三个条件分别是基础、归纳、极小性
- 递归指定集合法
- 文氏图解法
集合的关系
集合相等：=
包含关系：⊆\subseteq⊆
真包含关系：⊂\subset⊂
空集
写成ϕ\phiϕ
- 空集是一切集合的子集
- 空集是绝对唯一的
基数
写成|A|，表示集合A中元素的个数。若集合A含有n个元素，称为n元集。
幂集
A的所有不同子集构成的集合称为A的幂集，记为PPP(A)
集合的运算
也比较熟，比较不熟的是⨁\bigoplus⨁运算符
A⨁B={x∣(x∈A且x∉B)或(x∈B且x∉A)}=(A−B)⋃(B−A)A \bigoplus B=\{x|(x\in A且x\notin B)或(x\in B且x\notin A)\}=(A-B)\bigcup (B-A)A⨁B={x∣(x∈A且x∈/B)或(x∈B且x∈/A)}=(A−B)⋃(B−A)
称为A和B的对称差集
运算定理
比较简单且容易理解，就记一记不怎么熟的吧
吸收律：A⋂(A⋃B)=A，A⋃(A⋂B)=AA\bigcap(A\bigcup B)=A，A\bigcup(A\bigcap B)=AA⋂(A⋃B)=A，A⋃(A⋂B)=A
德摩根律：A⋃B‾=A‾⋂B‾,A⋂B‾=A‾⋃B‾\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap\overline{B},\overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup\overline{B}A⋃B=A⋂B,A⋂B=A⋃B
无限集
可数集和不可数集
等势：两个集合之间存在一一对应关系
与自然数集NNN等势的集合是可数集
与开区间（0，1）等势的集合是不可数集
定理
- 两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数
- 有限集合不和其任何真子集等势
- 可数集合可以与其可数的真子集等势
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