本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数学知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：

离散数学及其应用第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen

离散数学第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社

文章目录

5. 对偶式
- 5.1 对偶公式
- 5.2 对偶原理

由【离散数学】数理逻辑第一章命题逻辑(4) 联结词的完备集知，所有命题公式均可由 ¬,∧,∨\lnot, \land, \lor¬,∧,∨ 表示。又由【离散数学】数理逻辑第一章命题逻辑(3) 逻辑等价与蕴含知，大部分逻辑等价式都是成对出现的，不同的只是 ∧,∨\land, \lor∧,∨ 互换、T,FT, FT,F 互换——公式的这种特征被称为对偶，两个等价的命题公式分别对偶后仍然等价就是对偶原理：

5. 对偶式

5.1 对偶公式

定义5.1：设有命题公式 AAA ，其中仅含有联结词 ∧,∨,¬\wedge, \vee, \lnot∧,∨,¬ ，在 AAA 中将 ∧,∨,T,F\wedge, \vee, T, F∧,∨,T,F 分别替换为 ∨,∧,F,T\vee, \wedge, F, T∨,∧,F,T ，得公式 A∗A^*A∗ ，则 A∗A^*A∗ 称为 AAA 的对偶 dual 公式。

显然，(A∗)∗=A(A^*)^* = A(A∗)∗=A ，即对偶是相互的。例如，P∨(Q∧R)P\vee (Q\wedge R)P∨(Q∧R) 与 P∧(Q∨R)P\wedge (Q\vee R)P∧(Q∨R) 互为对偶。

例1：写出下列各式的对偶公式。
(1) (P∨Q)∧R( P\lor Q) \land R(P∨Q)∧R
(2) (P∧Q)∨T(P \land Q) \lor T(P∧Q)∨T
(3) P↑QP \uparrow QP↑Q
解答：(1) (P∧Q)∨R(P \land Q) \lor R(P∧Q)∨R；(2) (P∨Q)∧F(P \lor Q) \land F(P∨Q)∧F；(3) 因为与非 P↑Q⇔¬(P∧Q)P \uparrow Q \Leftrightarrow \lnot (P \land Q)P↑Q⇔¬(P∧Q) ，所以对偶公式为 ¬(P∨Q)⇔P↓Q\lnot (P \lor Q) \Leftrightarrow P \downarrow Q¬(P∨Q)⇔P↓Q 。

定理5.1：设 AAA 与 A∗A^*A∗ 是对偶公式，其中仅含有联结词 ¬,∧,∨\lnot, \land, \lor¬,∧,∨，P1,P2,…,PnP_1, P_2, \dots, P_nP1,P2,…,Pn 是出现于 AAA 和 A∗A^*A∗ 中的所有命题变元，于是：
¬A(P1,P2,…,Pn)⇔A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)A(P1,P2,…,Pn)⇔¬A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)\lnot A(P_1, P_2, \dots, P_n)\Leftrightarrow A^*(\lnot P_1, \lnot P_2, \dots, \lnot P_n)\\ A(P_1, P_2, \dots, P_n)\Leftrightarrow \lnot A^*(\lnot P_1, \lnot P_2, \dots, \lnot P_n)¬A(P1,P2,…,Pn)⇔A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)A(P1,P2,…,Pn)⇔¬A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)
证明这一定理需要使用归纳法，将在【离散数学】集合论第三章集合与关系(4) 集合的归纳定义、归纳证明、数学归纳法第一/二原理中加以说明。

直观地来看，这一定理潜在地揭示了对偶与德摩根律的联系——对偶中变换了 ∧\land∧ 和 ∨\lor∨、TTT 和 FFF ，相比德摩根律只缺了否定命题变元这一步。下面以一个例子 A(P,Q,R)⇔¬P∨(Q∧R)A(P, Q, R) \Leftrightarrow \lnot P\vee (Q \wedge R)A(P,Q,R)⇔¬P∨(Q∧R) 加以说明：
¬A(P,Q,R)⇔¬(¬P∨(Q∧R))⇔P∧¬(Q∧R)⇔P∧(¬Q∨¬R)A∗(P,Q,R)⇔¬P∧(Q∨R)A∗(¬P,¬Q,¬R)⇔¬(¬P)∧(¬Q∨¬R)⇔P∧(¬Q∨¬R)\begin{aligned} \lnot A(P, Q, R) &\Leftrightarrow \lnot (\lnot P\vee (Q\wedge R))\\ &\Leftrightarrow P\wedge \lnot (Q\wedge R)\\ &\Leftrightarrow P\wedge (\lnot Q\vee \lnot R)\\ A^*(P, Q, R) &\Leftrightarrow \lnot P\wedge (Q\vee R) \\ A^*(\lnot P, \lnot Q, \lnot R) &\Leftrightarrow \lnot (\lnot P) \wedge (\lnot Q \vee \lnot R) \\ &\Leftrightarrow P \wedge (\lnot Q\vee \lnot R) \end{aligned} ¬A(P,Q,R)A∗(P,Q,R)A∗(¬P,¬Q,¬R)⇔¬(¬P∨(Q∧R))⇔P∧¬(Q∧R)⇔P∧(¬Q∨¬R)⇔¬P∧(Q∨R)⇔¬(¬P)∧(¬Q∨¬R)⇔P∧(¬Q∨¬R)

5.2 对偶原理

定理5.2：设 A,BA, BA,B 为仅含有联结词 ∧,∨,¬\wedge, \vee, \lnot∧,∨,¬ 的命题公式，P1,P2,…,PnP_1, P_2, \dots, P_nP1,P2,…,Pn 是出现在 AAA 和 BBB 中的命题变元，则有：
（1）如果 A⇔BA \Leftrightarrow BA⇔B ，则 A∗⇔B∗A^*\Leftrightarrow B^*A∗⇔B∗ 。
（2）如果 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B ，则 B∗⇒A∗B^* \Rightarrow A^*B∗⇒A∗ 。
本定理被称为对偶原理，在很多常用的逻辑等价式中均有体现。

证明：
（1）A⇔BA\Leftrightarrow BA⇔B 意味着 A(P1,P2,…,n)↔B(P1,P2,…,Pn)A(P_1, P_2, \dots, _n) \leftrightarrow B(P_1, P_2, \dots, P_n)A(P1,P2,…,n)↔B(P1,P2,…,Pn) 永真，所以 ¬A(P1,P2,…,n)↔¬B(P1,P2,…,Pn)\lnot A(P_1, P_2, \dots, _n) \leftrightarrow \lnot B(P_1, P_2, \dots, P_n)¬A(P1,P2,…,n)↔¬B(P1,P2,…,Pn) 永真。

由定理5.1知：
¬A(P1,P2,…,Pn)⇔A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)¬B(P1,P2,…,Pn)⇔B∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)\lnot A(P_1, P_2, \dots, P_n) \Leftrightarrow A^*(\lnot P_1, \lnot P_2, \dots, \lnot P_n)\\ \lnot B(P_1, P_2, \dots, P_n) \Leftrightarrow B^*(\lnot P_1, \lnot P_2, \dots, \lnot P_n)¬A(P1,P2,…,Pn)⇔A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)¬B(P1,P2,…,Pn)⇔B∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)

所以 A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)↔B∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)A^*(\lnot P_1, \lnot P_2, \dots, \lnot P_n) \leftrightarrow B^*(\lnot P_1, \lnot P_2, \dots, \lnot P_n)A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)↔B∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn) 永真。再运用代入规则，以 ¬Pi\lnot P_i¬Pi 代替 PiP_iPi（1≤i≤n1 \le i\le n1≤i≤n），得到 A∗(P1,P2,…,Pn)↔B∗(P1,P2,…,Pn)A^*(P_1, P_2 ,\dots, P_n) \leftrightarrow B^*(P_1, P_2, \dots, P_n)A∗(P1,P2,…,Pn)↔B∗(P1,P2,…,Pn) 永真，从而 A∗⇔B∗A^*\Leftrightarrow B^*A∗⇔B∗ 。

（2）A⇒BA\Rightarrow BA⇒B 意味着 A(P1,P2,…,n)→B(P1,P2,…,Pn)A(P_1, P_2, \dots, _n) \to B(P_1, P_2, \dots, P_n)A(P1,P2,…,n)→B(P1,P2,…,Pn) 永真。所以由逆反律 E24E_{24}E24 知 ¬B(P1,P2,…,n)→¬A(P1,P2,…,Pn)\lnot B(P_1, P_2, \dots, _n) \to\lnot A(P_1, P_2, \dots, P_n)¬B(P1,P2,…,n)→¬A(P1,P2,…,Pn) 永真。

再由定理5.1知，B∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)→A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)B^*(\lnot P_1,\lnot P_2, \dots, \lnot P_n) \to A^*(\lnot P_1, \lnot P_2, \dots, \lnot P_n)B∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn)→A∗(¬P1,¬P2,…,¬Pn) 永真。使用代入规则，以 ¬Pi\lnot P_i¬Pi 代替 PiP_iPi（1≤i≤n1\le i\le n1≤i≤n），得到 B∗(P1,P2,…,Pn)→A∗(P1,P2,…,Pn)B^*(P_1, P_2 ,\dots, P_n) \to A^*(P_1, P_2, \dots, P_n)B∗(P1,P2,…,Pn)→A∗(P1,P2,…,Pn) 永真，从而 B∗⇒A∗B^*\Rightarrow A^*B∗⇒A∗ 。

上述两个证明，也可以先运用代入规则，用 ¬Pi\lnot P_i¬Pi 代替 PiP_iPi ，再使用定理5.1，最终得到的结论完全一致，而且证明过程更简单。

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