本文是 2021年春季学期-信号与系统-第七次作业参考答案 的小题的参考答案。

▌第十小题 ▌

10.已知下图所示系统中 cos⁡(ωct)\cos \left( {\omega _c t} \right)cos(ωct) 是自激振荡器，理想低通滤波器的转移函数为：HL(jω)=[u(ω+2Ω)−u(ω−2Ω)]e−jωt0H_L \left( {j\omega } \right) = \left[ {u\left( {\omega + 2\Omega } \right) - u\left( {\omega - 2\Omega } \right)} \right]e^{ - j\omega t_0 }HL(jω)=[u(ω+2Ω)−u(ω−2Ω)]e−jωt0且ωc>>Ω\omega _c > > \Omegaωc>>Ω。

（1）求虚框所示系统的冲激响应h(t)h\left( t \right)h(t)；

（2）如果输入信号为：e(t)=[sin⁡(Ωt)Ωt]2cos⁡(ωct)e\left( t \right) = \left[ {{{\sin \left( {\Omega t} \right)} \over {\Omega t}}} \right]^2 \cos \left( {\omega _c t} \right)e(t)=[Ωtsin(Ωt)]2cos(ωct)求输出信号r(t)r\left( t \right)r(t)。

（3）如果输入信号为e(t)=[sin⁡(Ωt)Ωt]2sin⁡(ωct)e\left( t \right) = \left[ {{{\sin \left( {\Omega t} \right)} \over {\Omega t}}} \right]^2 \sin \left( {\omega _c t} \right)e(t)=[Ωtsin(Ωt)]2sin(ωct)求输出信号r(t)r\left( t \right)r(t)。

（4）系统是否是线性是不变系统？

提示：郑君里，信号与系统，课后习题5-20

▓ 求解：

（1）第一小问

当e(t)=δ(t)e\left( t \right) = \delta \left( t \right)e(t)=δ(t)，系统的输出r(t)r\left( t \right)r(t)就是e(t)⋅cos⁡(ωct)=δ(t)e\left( t \right) \cdot \cos \left( {\omega _c t} \right) = \delta \left( t \right)e(t)⋅cos(ωct)=δ(t)。作用在低通滤波器上的输出。

设低通滤波器的频率特性为：

H0(jω)=[u(ω+2Ω)−u(ω−2Ω)]H_0 \left( {j\omega } \right) = \left[ {u\left( {\omega + 2\Omega } \right) - u\left( {\omega - 2\Omega } \right)} \right]H0(jω)=[u(ω+2Ω)−u(ω−2Ω)]

根据傅里叶变换的对偶特性可知它对应的单位冲击响应为：h0(t)=sin⁡2Ω(t)πth_0 \left( t \right) = {{\sin 2\Omega \left( t \right)} \over {\pi t}}h0(t)=πtsin2Ω(t)

再有：HL(jω)=H0(jω)⋅e−jωt0H_L \left( {j\omega } \right) = H_0 \left( {j\omega } \right) \cdot e^{ - j\omega t_0 }HL(jω)=H0(jω)⋅e−jωt0

根据傅里叶变换的时移特性可知：

hL(t)=sin⁡2Ω(t−t0)π(t−t0)h_L \left( t \right) = {{\sin 2\Omega \left( {t - t_0 } \right)} \over {\pi \left( {t - t_0 } \right)}}hL(t)=π(t−t0)sin2Ω(t−t0)

因此，该系统对于低通滤波器通带范围内的信号具有t\0..的延迟特性。

（2）第二小问

将输入信号看做信号做幅度调制，因此该系统就是同步解调过程。e(t)=[sin⁡(Ωt)Ωt]2cos⁡(ωct)e\left( t \right) = \begin{bmatrix} {{{\sin \left( {\Omega t} \right)} \over {\Omega t}}} \end{bmatrix}^2 \cos \left( {\omega _c t} \right)e(t)=[Ωtsin(Ωt)]2cos(ωct)

由于输入信号的频带宽度落入了低通滤波器的通带范围内，因此根据调幅信号的同步解调原理，可以知道输出信号为被调制信号本身。再根据低通滤波器的延时特性，可以知

12[sin⁡Ω(t−t0)Ω(t−t0)]{1 \over 2}\left[ {{{\sin \Omega \left( {t - t_0 } \right)} \over {\Omega \left( {t - t_0 } \right)}}} \right]21[Ω(t−t0)sinΩ(t−t0)]

（3）第三小问

根据幅度调制同步解调过程，可以知道，由于解调信号与调制信号相差90°，所以系统输出为0.

（4）第四小问

系统是线性时变系统。其中主要是系统中存在一个时域相乘环节。

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