2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案-第十小题
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第五次作业参考答案 中的小题解答。
▌第十题
10. 利用傅里叶变换公式计算下面信号的傅里叶变换。
(1) e−2(t−1)⋅u(t−1)e^{ - 2\left( {t - 1} \right)} \cdot u\left( {t - 1} \right)e−2(t−1)⋅u(t−1)
(2)
e−2∣t−1∣e^{ - 2\left| {t - 1} \right|}e−2∣t−1∣
(3)
δ(t+1)+δ(t−1)\delta \left( {t + 1} \right) + \delta \left( {t - 1} \right)δ(t+1)+δ(t−1)
(4)
ddt[u(−2−t)+u(t−2)]{d \over {dt}}\left[ {u\left( { - 2 - t} \right) + u\left( {t - 2} \right)} \right]dtd[u(−2−t)+u(t−2)]
※ 求解：
（1）第一小题
f(t)=e−2(t−1)u(t−1)f\left( t \right) = e^{ - 2\left( {t - 1} \right)} u\left( {t - 1} \right)f(t)=e−2(t−1)u(t−1)
F(ω)=∫1∞e−2(t−1)⋅e−jωtdt=e2⋅∫1∞e−(jω+2)tdtF\left( \omega \right) = \int_1^\infty {e^{ - 2\left( {t - 1} \right)} \cdot e^{ - j\omega t} dt} = e^2 \cdot \int_1^\infty {e^{ - \left( {j\omega + 2} \right)t} dt}F(ω)=∫1∞e−2(t−1)⋅e−jωtdt=e2⋅∫1∞e−(jω+2)tdt=e2−(jω+2)⋅e−(jω+2)t∣1∞= {{e^2 } \over { - \left( {j\omega + 2} \right)}} \cdot e\left. {^{ - \left( {j\omega + 2} \right)t} } \right|_1^\infty=−(jω+2)e2⋅e−(jω+2)t∣∣∣1∞=e22+jωe−jω−2=e−jω2+jω= {{e^2 } \over {2 + j\omega }}e^{ - j\omega - 2} = {{e^{ - j\omega } } \over {2 + j\omega }}=2+jωe2e−jω−2=2+jωe−jω
（2）第二小题
f(t)=e−2∣t−1∣f\left( t \right) = e^{ - 2\left| {t - 1} \right|}f(t)=e−2∣t−1∣
F(ω)=∫−∞∞e−2∣t−1∣⋅e−jωtdtF\left( \omega \right) = \int_{ - \infty }^\infty {e^{ - 2\left| {t - 1} \right|} \cdot e^{ - j\omega t} dt}F(ω)=∫−∞∞e−2∣t−1∣⋅e−jωtdt=∫−∞1e2(t−1)⋅e−jωtdt+∫1∞e−2(t−1)⋅e−jωtdt= \int_{ - \infty }^1 {e^{2\left( {t - 1} \right)} \cdot e^{ - j\omega t} dt} + \int_1^\infty {e^{ - 2\left( {t - 1} \right)} \cdot e^{ - j\omega t} dt}=∫−∞1e2(t−1)⋅e−jωtdt+∫1∞e−2(t−1)⋅e−jωtdt=e−2⋅∫−∞1e(2−jω)tdt+e2⋅∫1∞e−(2+jω)tdt= e^{ - 2} \cdot \int_{ - \infty }^1 {e^{\left( {2 - j\omega } \right)t} dt} + e^2 \cdot \int_1^\infty {e^{ - \left( {2 + j\omega } \right)t} dt}=e−2⋅∫−∞1e(2−jω)tdt+e2⋅∫1∞e−(2+jω)tdt=[e−22−jωe(2−jω)t∣−∞1+−e22+jω⋅e−(2+jω)t∣1∞]= \left[ {{{e^{ - 2} } \over {2 - j\omega }}\left. {e^{\left( {2 - j\omega } \right)t} } \right|_{ - \infty }^1 + {{ - e^2 } \over {2 + j\omega }} \cdot \left. {e^{ - \left( {2 + j\omega } \right)t} } \right|_1^\infty } \right]=[2−jωe−2e(2−jω)t∣∣∣−∞1+2+jω−e2⋅e−(2+jω)t∣∣∣1∞]=[e−jω2−jω+e−jω2+jω]=44+ω2e−jω= \left[ {{{e^{ - j\omega } } \over {2 - j\omega }} + {{e^{ - j\omega } } \over {2 + j\omega }}} \right] = {4 \over {4 + \omega ^2 }}e^{ - j\omega }=[2−jωe−jω+2+jωe−jω]=4+ω24e−jω
（3）第三小题
f(t)=δ(t+1)+δ(t−1)f\left( t \right) = \delta \left( {t + 1} \right) + \delta \left( {t - 1} \right)f(t)=δ(t+1)+δ(t−1)
F(ω)=∫−∞+∞[δ(t+1)+δ(t−1)]e−jωtdtF\left( \omega \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\delta \left( {t + 1} \right) + \delta \left( {t - 1} \right)} \right]e^{ - j\omega t} dt}F(ω)=∫−∞+∞[δ(t+1)+δ(t−1)]e−jωtdt=ejω+e−jω=2cosω= e^{j\omega } + e^{ - j\omega } = 2\cos \omega=ejω+e−jω=2cosω
（4）第四小题
f(t)=ddt{u(−2−t)+u(t−2)}f\left( t \right) = {d \over {dt}}\left\{ {u\left( { - 2 - t} \right) + u\left( {t - 2} \right)} \right\}f(t)=dtd{u(−2−t)+u(t−2)}
而：
ddt[u(−2−t)+u(t−2)]{d \over {dt}}\left[ {u\left( { - 2 - t} \right) + u\left( {t - 2} \right)} \right]dtd[u(−2−t)+u(t−2)]=−δ(t+2)+δ(t−2)= - \delta \left( {t + 2} \right) + \delta \left( {t - 2} \right)=−δ(t+2)+δ(t−2)
所以：
FT[−δ(t+2)+δ(t−2)]FT\left[ { - \delta \left( {t + 2} \right) + \delta \left( {t - 2} \right)} \right]FT[−δ(t+2)+δ(t−2)]=−ej2ω+e−j2ω=−2jsin2ω= - e^{j2\omega } + e^{ - j2\omega } = - 2j\sin 2\omega=−ej2ω+e−j2ω=−2jsin2ω
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