(6/300)一阶线性非齐次常微分方程的通解
一阶线性非齐次常微分方程的通解
首先应该认识方程的形式:
dy/dx+P(x)y=Q(x)
然后就来思考怎么去解这个方程了
我们最终希望是得到一个y=f(x)的形式,怎么解呢?先通过线性代数的知识进行引入:
求AX=b的通解;那么我们先求得Aη。=0,再求得一个AX=b的特解η*,那么两个相加就得到A(η0+η*)=b,那么当η。取到全部解时,X=η0+η* 就是AX=b的全部解了,那么就求得AX=b的通解了。
同样的道理我们也希望求得一个y。使得,dy0/dx+P(x)y0=0,然后再求得一个特解y* ,那么y = y0+y* 就是我们要的通解了。
先试着解一下:
然后我们就想着怎么把这个特解求出来,那么我们不妨这样想:
令y0=CY,那么 d C Y d x + P ( x ) C Y = 0 \frac{dCY}{dx}+P(x)CY=0 dxdCY+P(x)CY=0,要想让右边等于Q(x),那么我们只有让左边也出现一个关于x的一次函数,我们就想到了将常数C变成关于x的函数C(x),这就是所谓的常数变易法,
那么继续求解:
最后得到的就是一节线性非齐次常微分方程的通解了。
总结一下,求这个方程的解的话,最复杂的地方不过就是对于常数变易的那里的理解了,其他地方都是很简单。结合线性代数的知识呢,其实也是很好理解的,无非就是求一个非齐次方程的通解嘛,求出导出组的通解再加上一个特解就好了,只是说我们这里,为什么偏偏就是把C变成C(x),这就是因为从那个方程的形式观察到的。
####强行解释一波,如有谬误欢迎指出,我也感觉这样的解释有点牵强,哈哈哈。昨天晚上身体有点不舒服,就没有更第六天的内容。这是第七天,今天晚上来补上伯努利方程。
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