关于线性微分方程的求解

1.1 线性方程

首先讲一下什么叫线性方程，含有变量的最高次幂不超过1次的方程，允许0次的存在。
eg. ax+by+cz+d=0;
@线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。
(1) y’前的系数不能含y，但可以含x，如:x*y'=2 是线性的； y*y'=2 不是线性的。
(2) y前的系数也不能含y，但可以含x，如：y'=sin(x)y 是线性的，y'=sin(y)y 是非线性的。
(3) 整个方程中，只能出现y和y’，不能出现sin(y)，y^2，y^3等等，如：y'=y 是线性的；y'=y^2 是非线性的。就是关于y的复合函数。

1.2 微分方程

就带有自变量，未知函数和未知函数的导数的方程。比如y'=sinx , y"=y。
对于一阶微分方程，形如：y' + p(x)y + q(x) = 0的称为"一阶线性微分方程"。
对于二阶微分方程，形如：y'' + p(x)y '+ q(x)y + f(x) = 0的称为"二阶线性微分方程"。

1.3 齐次方程

1.方程中所有项的次数都相等。比如xy,x^2,y^2都是二次的。dy/dx、y/x和常数a都是0次的。比如y'=1+y/x.就是齐次方程。
2.形如 y" + p(x)y' + q(x)y = 0的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y’,y’’,…的次数都是相等的（都是一次），“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项）.
方程 y" + p(x)y' + q(x)y = f(x)就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。

2 一阶线性齐次微分方程

y’ + p(x)y = 0
一阶微分dy/dx，线性y' + p(x)y = 0，齐次是方程不含自由项。
求解：
dy/dx = -p(x)y ;
dy/y = -p(x)dx ;
ln|y| = -∫p(x)dx + C ;
y=Ce^ -∫p(x)dx ;

3 一阶线性非齐次微分方程

dy/dx + p(x)y = q(x)
一阶微分dy/dx ,线性 y' + p(x)y - q(x) = 0，非齐次，含有不关于y的自由项。
求解：
利用**常数变易法**求一阶线性非齐次微分方程的通解，是把一阶线性非齐次微分方程的通解中C换成C(x)即---------------------------------------(here)
y=C(x)e^-∫p(x)dx
对y进行求导可知：dy/dx = C'(x)*(e^-∫p(x)dx) - C(x)*p(x)*(e^-∫p(x)dx);
带入原式可知：C'(x)*(e^-∫p(x)dx) - C(x)*p(x)*(e^ -∫p(x)dx) + p(x)*C(x)*(e^ -∫p(x)dx) = q(x); => C'(x)(e^-∫p(x)dx) = q(x); => C'(x) = q(x)*(e^ ∫p(x)dx)
对两端进行积分可知：C(x) = ∫q(x)*(e^∫p(x)dx)dx + C;
带入第一步的通解里可知：y=e^-∫p(x)dx * [∫q(x)*(e^∫p(x)dx)dx + C]
======>
下面说一下如何去理解
☆☆☆因为我们可以知道解微分方程最终是为了求出y关于x的函数，假设为y=y(x),
dy/dx + [p(x) - q(x)/y(x)] * y = 0
y=C*(e^-∫[p(x) - q(x)/y(x)]dx)
y=(e^-∫p(x)dx) * (C* e^∫q(x)/y(x)dx)
c(x)=(C* e^∫q(x)/y(x)dx)显而易见是一个关于x的函数，就设为c(x).然后从上面标记的地方开始计算就可以理解了。。。