【高等数学】伯努利方程及其求解方法

一、伯努利方程的形式

dydx+P(x)y=Q(x)yn（注意这个n是指n次方而非n阶导）\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n （注意这个n是指n次方而非n阶导） dxdy+P(x)y=Q(x)yn（注意这个n是指n次方而非n阶导）

观察发现：

一阶方程（导数的次数最高为1次）
当n=0，线性非齐次方程
当n=1，线性齐次方程

一般的非线性方程是很难求解的，上述形式的方程可以通过转换为线性非齐次方程求解。

二、求解步骤

求解思路：化陌生为熟悉，通过换元将非线性方程转换成线性方程。

先将yⁿ拿到左边，得到：y−ndydx+P(x)y1−n=Q(x)y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)
注意到：dy1−ndx=dy1−ndy⋅dydx=(1−n)y−ndydx\Large \frac{dy^{1-n}}{dx} = \frac{dy^{1-n}}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}dxdy1−n=dydy1−n⋅dxdy=(1−n)y−ndxdy
因此，我们将y^-n收进去，得到：11−ndy1−ndx+P(x)y1−n=Q(x)\frac{1}{1-n}\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)
令z=y1−nz = y^{1-n}z=y1−n，得到：dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)dxdz+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)
发现此时面对的就是一阶线性非齐次常微分方程，带入通解公式即可求得z=z(x)=y1−nz=z(x)=y^{1-n}z=z(x)=y1−n
解得：y=z(x)1−ny= \sqrt[1-n]{z(x)}y=1−nz(x)

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