简要题意：

请你对满足下列条件的正整数序列 A1,A2⋯AnA_1,A_2\cdots A_nA1,A2⋯An 进行计数。

∀1≤i≤n,Li≤Ai≤Ri\forall 1\leq i\leq n,L_i\leq A_i\leq R_i∀1≤i≤n,Li≤Ai≤Ri
令 S=∑i=1nAiS=\sum\limits_{i=1}^nA_iS=i=1∑nAi 给出 DDD 进制数字集合 TTT ，满足要求的 SSS 的 DDD 进制拆分中的所有数字都应该属于 TTT 集合。

n≤12,D≤500,1≤Li≤Ri≤D500n\leq 12 ,D\leq 500,1\leq L_i\leq R_i\leq D^{500}n≤12,D≤500,1≤Li≤Ri≤D500

题解：

首先高精度是跑不掉的了。。。

由于 nnn 很小，可以考虑把问题转化成只有下界进行容斥。

设 SSS 为所有下界之和+1 ，假设总和为 VVV ，由于没有上界，显然方案数就是 (V−Sn−1){V-S\choose n-1}(n−1V−S) ，用隔板法考虑即可。

那么每一次要求的东西就是 ∑V=SINF(V−Sn−1)[V合法]\sum\limits_{V=S}^{INF}{V-S\choose n-1}[V 合法]V=S∑INF(n−1V−S)[V合法]

考虑范德蒙德恒等式：(n+mk)=∑i=0k(nk)(mk){n+m\choose k}=\sum\limits_{i=0}^k{n\choose k}{m\choose k}(kn+m)=i=0∑k(kn)(km) ，这个等式在广义组合数上仍然成立。

于是我们只需要用数位DP，求出 ∑V=SINF(Vi)[V合法]\sum\limits_{V=S}^{INF}{V\choose i}[V合法]V=S∑INF(iV)[V合法] ，然后用 (−Si){-S\choose i}(i−S) 来计算即可。

DP过程中的转移也需要依赖范德蒙德恒等式。

复杂度 O(2nn2log⁡D(∑R))O(2^nn^2\log_D(\sum R))O(2nn2logD(∑R))，高精度不是复杂度瓶颈。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs constusing std::cerr;
using std::cout;cs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}cs int N=15,SIZE=527,D=5e2+7;using Int=std::vector<int>;int B;Int& operator++(Int &a){if(!a.size())a.push_back(0);int b=1;for(int re i=0;i<(int)a.size();++i)if((a[i]+=b)>=B)a[i]-=B,b=1;else b=0;if(b)a.push_back(b);return a;
}Int& operator--(Int &a){if(!a.size())a.push_back(0);a[0]-=1;for(int re i=0;a[i]<0;++i)a[i]+=B,a[i+1]--;while(a.size()&&!a.back())a.pop_back();return a;
}Int gI(){static int len;Int a;static char s[1507];static int num[1507];scanf("%s",s);len=strlen(s);for(int re i=0;i<len;++i)num[len-i]=s[i]^48;while(len){int t=0;for(int re i=len;i;--i)t=t*10+num[i],num[i]=t/B,t%=B;a.push_back(t);while(len&&!num[len])--len;}return a;
}Int &operator+=(Int &a,cs Int &b){if(a.size()<b.size())a.resize(b.size());for(int re i=0;i<(int)b.size();++i)a[i]+=b[i];for(int re i=0;i+1<(int)a.size();++i)if(a[i]>=B)a[i+1]++,a[i]-=B;if(a.size())while(a.back()>=B){int t=a.back();a.back()%=B;a.push_back(t/B);}return a;
}int get_mod(cs Int &a){int res=0;for(int re i=a.size()-1;~i;--i)Mul(res,B),Inc(res,a[i]);return res;
}int n,ans;
int good[D];Int L[N],R[N],S;
int C[SIZE][D][N],Len;
int pr[SIZE][D][N],sf[SIZE][D][N];
int inv[N];int G[N];
int F[2][2][N];int calc(){int t=0,s=1,Sl=S.size()-1;memset(G,0,sizeof G);S.resize(Len);memset(F[t],0,sizeof F[t]);F[t][1][0]=1;for(int re i=0;i<Len;++i){t^=1,s^=1;memset(F[t],0,sizeof F[t]);for(int re x=0;x<n;++x){if(!F[s][0][x]&&!F[s][1][x])continue;int sm=add(F[s][0][x],F[s][1][x]);int *pr=nullptr,*sf=nullptr,*C,*f0,*f1;C=::C[i][S[i]],f0=F[t][0],f1=F[t][1];if(S[i]-1>=0)pr=::pr[i][S[i]-1];if(S[i]+1<B)sf=::sf[i][S[i]+1];for(int re y=0;x+y<n;++y){if(S[i]-1>=0)Inc(f0[x+y],mul(sm,pr[y]));if(S[i]+1<B){Inc(f1[x+y],mul(sm,sf[y]));if(i>=Sl)Inc(G[x+y],mul(sm,sf[y]));}Inc(f0[x+y],mul(F[s][0][x],C[y]));Inc(f1[x+y],mul(F[s][1][x],C[y]));if(i==Sl)Inc(G[x+y],mul(F[s][1][x],C[y]));}}}s=dec(0,get_mod(S));int res=0;for(int i=0,c=1;i<n;++i){if(i)Mul(c,mul(dec(s,i-1),inv[i]));Inc(res,mul(G[n-1-i],c));}return res;
}void Main(){scanf("%d%d",&n,&B);for(int re i=0;i<B;++i)scanf("%d",good+i);for(int re i=0;i<n;++i)L[i]=gI(),--L[i],R[i]=gI(),S+=R[i];Len=S.size()+2;inv[0]=inv[1]=1;for(int re i=2;i<n;++i)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);for(int i=0,pw=1;i<Len;++i,Mul(pw,B)){for(int re d=0;d<B;++d)if(good[d]){C[i][d][0]=1;for(int re j=1;j<n;++j)C[i][d][j]=mul(mul(C[i][d][j-1],inv[j]),dec(mul(pw,d),j-1));}for(int re d=0;d<B;++d)for(int re j=0;j<n;++j)pr[i][d][j]=add(d==0?0:pr[i][d-1][j],C[i][d][j]);for(int re d=B-1;~d;--d)for(int re j=0;j<n;++j)sf[i][d][j]=add(d==B-1?0:sf[i][d+1][j],C[i][d][j]);}for(int re s=0;s<(1<<n);++s){S.clear();S.push_back(1);int ct=0;for(int re i=0;i<n;++i)(s&(1<<i))?(++ct,S+=R[i]):(S+=L[i]);ct&1?Dec(ans,calc()):Inc(ans,calc());}cout<<ans<<"\n";
}inline void file(){#ifdef zxyoifreopen("A.in","r",stdin);
#endif
}signed main(){file();Main();return 0;}

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