IK（反向动力学）

反向运动学 (IK) 是一种设置动画的方法，它翻转链操纵的方向。它是从叶子而不是根开始进行工作的。

要了解 IK 是如何进行工作的，首先必须了解层次链接和正向运动学的原则。

简单演示

现在举个手臂的例子。要设置使用正向运动学的手臂的动画，可以旋转大臂使它移离肩膀，然后旋转小臂，手部等等，为每个子对象添加旋转关键点。

要设置使用反向运动学的手臂的动画，可以移动用以定位腕部的目标。手臂的上半部分和下半部分为 IK 解决方案所旋转，使称为末端效应器的腕部轴点向着目标移动。

根、茎、叶(点)

CCD 末端效应器运动

CCD 蒙皮后

反向运动学定义为确定一组适当的关节构型，使末端尽可能平稳、快速、准确地移动到所需位置的问题。

是一种通过估计每个独立自由度来计算姿态的方法，以满足用户约束的给定任务。

反向动力学的实现方法有很多种，常见的有 CCD（循环坐标下降法），FABR（前向和后向法），本文只说明反向动力学的基本方法。

策略思路

1.从最小子骨骼开始遍历并趋近目标
2.每个骨骼都将其子骨骼的轴点作为跟随点（最小子骨骼无子节点需直接跟随目标点），开始趋近
3.骨骼跟随方法为，以自身轴点与目标点的方向为骨骼变换方向，并将骨骼终点与目标点对齐

从目标点（X）开始求解，并从链式结构的“叶节点”到“根节点”逐渐将整个链式结构趋近目标位置。

范例：
构建链式结构：[P2,P1]、[P3,P2]、[P4,P3]，其长度分别为d1,d2,d3
（A）从尾端开始，以[P4,P3]开始逼近 X点,
（B）d3趋近，连接[P3, X], 将[P4,P3]移动至[P4‘,P3’],P4’ == X
（C）d2趋近，连接[P2, P3’],将[P3,P2]移动至[P3’,P2’]
（D）d1趋近，连接[P1, P2’],将[P2,P1]移动至[P2’,P1‘]

角度限制

特殊情况下，得到运动的形状还不够，还需要进行一定的运动限制，现实中每一根骨骼在运动的过程中往往都会受到铰连接，带来的运动角度限制！

在链式结构跟随目标点运动时每个骨骼的运动角度都是相对的，即每个骨骼的角度限制都是以其子骨骼为相对方向（与子骨骼世界方向相同时角度为0°，相反时为180°或-180°），那么自然叶子节点因为没有子骨骼就没有什么限制（你要想有的话也可以有的，我这里不做实现）。

下图：
a为父骨骼，b 为子骨骼，那么，a的限制角度计算方式就为，a方向旋转到 b方向的角度为准，范围为（-180,180）,角度的限制在跟随的过程中计算即可。

实现代码：

Segment 类

    public class Segment{public float len;           //线段长度public Vector2 angleLimt = new Vector2(-180f, 180f);        //角度限制范围public Color color = Color.white;       //Gizmo colorpublic Vector2 a { get; private set; }      //线段起点public Vector2 b { get; private set; }      //线段终点public Vector2 forward { get { return (b - a).normalized; } }       //线段终点方向/// <summary>/// 跟随目标节点,并计算自身位置/// </summary>/// <param name="target">目标点位置</param>/// <param name="prevDir">上一线段的方向</param>/// <param name="limt">是否使用角度限制</param>/// <param name="isForward">是否将线段终点作为向前方向</param>public void Follow(Vector2 target, Vector2 prevDir, Vector2 limt, bool isForward = true){if (isForward){a = -(target - a).normalized * len + target;b = target;}else{a = target;b = -(target - b).normalized * len + target;}if (limt.x != -180 || limt.y != 180) LimtAngle(prevDir, limt, isForward);}/// <summary>/// 角度限制/// </summary>/// <param name="prevDir">上一线段的方向</param>/// <param name="limt">角度的限制范围</param>/// <param name="isForward">是否将线段终点作为向前方向</param>private void LimtAngle(Vector2 prevDir, Vector2 limt, bool isForward = true){float angle = Vector2.SignedAngle(prevDir, forward);if (isForward){if (-angle < limt.x){a = -Rotate(prevDir, -limt.x) * len + b;}else if (-angle > limt.y){a = -Rotate(prevDir, -limt.y) * len + b;}}else{if (angle < limt.x){b = Rotate(prevDir, limt.x) * len + a;}else if (angle > limt.y){b = Rotate(prevDir, limt.y) * len + a;}}}/// <summary>/// 返回旋转后的角度/// </summary>/// <param name="v">normal</param>/// <param name="a">rad</param>private Vector2 Rotate(Vector2 v, float a){a = a * Mathf.Deg2Rad + Mathf.Atan2(v.y, v.x);return new Vector2(Mathf.Cos(a), Mathf.Sin(a));}}

IKSolverSimp 类

    public class IKSolverSimp {public Segment[] segments = new Segment[] { };public Vector2 target;  //目标位置public bool useLimt = false;        //是否启用角度限制/// <summary>/// 以线段的起点为正方向，开始趋近目标/// </summary>public void CalculateForback(){segments[0].Follow(target, Vector2.zero, useLimt ? Vector2.zero : new Vector2(-180,180), false);for (int i = 1; i < segments.Length; i++){segments[i].Follow(segments[i - 1].b, segments[i - 1].forward, useLimt ? segments[i].angleLimt : new Vector2(-180, 180), false);}}/// <summary>/// 以线段的终点为正方向，开始趋近目标/// </summary>public void CalculateForward(){segments[segments.Length - 1].Follow(target, Vector2.zero, useLimt ? Vector2.zero : new Vector2(-180, 180), true);for (int i = segments.Length - 2; i > -1; i--){segments[i].Follow(segments[i + 1].a, segments[i + 1].forward, useLimt ? segments[i + 1].angleLimt : new Vector2(-180, 180), true);}}}

SimpIKTest 类

    public class SimpIKTest : MonoBehaviour{public IKSolverSimp iKSolverSimp;       //简单解算器public Transform targetP;       //目标点位置public bool useLimt = true;         //使用限制public bool update = false;         //实时更新public bool isHeadFollow = true;    //线段起点为正方向[Button("Calculate")]   //需要插件：Sirenix.OdinInspector；或替换为[ContextMenu("Calculate")]void Calculate(){iKSolverSimp.useLimt = useLimt;iKSolverSimp.target = targetP.position;if (isHeadFollow){iKSolverSimp.CalculateForback();}else{iKSolverSimp.CalculateForward();}}private void OnDrawGizmos(){if (targetP == null) return;if (update) Calculate();Segment last = null;foreach (var item in iKSolverSimp.segments){Gizmos.color = item.color;Mov.GizmeDrawArrow(item.a, item.b);if (useLimt && last != null){Mov.GizmeDrawCircleLimt(item.a, (item.b - item.a).normalized, item.angleLimt, 0, item.len / 4f, last.a);}last = item;}}}

public static class Mov{public static Vector2 Rotate(Vector2 v, float a){Vector2 n = v.normalized;a += Mathf.Atan2(n.y, n.x);return new Vector2(Mathf.Cos(a),Mathf.Sin(a)) * v.magnitude;}public static void GizmeDrawArrow(Vector2 a, Vector2 b){Vector2 dir = (a - b).normalized;float l = (a - b).magnitude * 0.2f;Vector2 u = Rotate(dir, 30 * Mathf.Deg2Rad) * l;Vector2 d = Rotate(dir, -30 * Mathf.Deg2Rad) * l;Gizmos.DrawLine(a, b);Gizmos.DrawLine(b, b + u);Gizmos.DrawLine(b, b + d);}public static void GizmeDrawCircleLimt(Vector2 anchor, Vector2 right, Vector2 limt, float angleOff, float len, Vector2 anchor2){Vector2 dir = right * len;Vector2 a, b, c;a = anchor;b = a + Rotate(dir, -(limt.x + angleOff) * Mathf.Deg2Rad);c = a + Rotate(dir, -(limt.y + angleOff) * Mathf.Deg2Rad);Color green = new Color(0, 1, 1, .3f);Color blue = new Color(0, 0, 1, .3f);Color white = new Color(1, 1, 1, .3f);Color black = new Color(0, 0, 0, .3f);Gizmos.color = green;Gizmos.DrawLine(a, b);Gizmos.color = blue;Gizmos.DrawLine(a, c);Vector2 s = b - a;float rad = (limt.y - limt.x) * Mathf.Deg2Rad;for (float i = 0; i < 1f; i += 0.1f){Gizmos.color = Color.Lerp(green, black, i);Gizmos.DrawLine(a + Mov.Rotate(s, -i * rad), a + Mov.Rotate(s, -(i + 0.1f) * rad));}if (anchor != anchor2){Gizmos.color = white;Gizmos.DrawLine(a, a + (a - anchor2).normalized * len * 1.05f);}}
}

效果演示(角度限制与无限制)

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