南邮算法分析与设计实验4 密码算法

实验目的

了解现代密码学的基本原理和数论的基础知识，掌握非对称密码体制的著名代表RSA加密算法的工作原理和流程，并设计实现一个简单的密钥系统。

实验内容

了解加/解密的基本原理和工作过程，用公开密钥对明文进行加密，并用私人密钥对密文进行解密，构造一个简单的 RSA 公开密钥系统。

实验原理

1、RSA算法是由麻省理工学院的 Ron Rivest,Adi Shamir 和Len Adleman 于 1977 年研制并于1978 年首次发表的一种算法，是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，且易于理解和操作，因此作为一种通用公开密钥加密方式而受到推崇。RSA是一种分组密码，其中明文和密文都是小于某个 n 的从0 到 n-1 的整数，则分组的

二进制值长度必须小于或等于log2n。若以 M 表示明文分组，而C 表示密文分组，则加密和解密的过程如下：

加密：C=M^e mod n

解密：M’=C^d mod n

发送方和接受方都必须知道n 的值。发送方知道 e 的值，而只有接受方知道d 的值。因此这是一种公开密钥为{e,n}，且私有密钥为{d,n}的公开密钥加密算法。此时算法要能够满足公开密钥加密的要求，则必须满足以下条件：

（1）有可能找到 e、d、n的值，使得对所有 M<n 有

M^(ed) modn = M mod n。

（2）对于所有M<n 的值，要计算 M^e和C^d 相对来说是简单的。

（3）在给定e 和 n 时，判断出d 是不可行的。

2、重点考虑第一个条件：

由 Euler 定理的一个推论：给定两个素数p和 q以及两个整数 n 和m，使得 n=pq 而且0<m<n，并且对于任意整数k，下列关系成立：

m^(kΦ(n)+1)=m

k(p-1)(q-1)+1≡m mod n

其中Φ(n)是欧拉函数，也就是不超过n 且与 n 互素的整数个数。对于素数p 和 q，有Φ(pq)=(p-1)(q-1)。

因此得到需要的关系：ed=kΦ(n)+1，

等价于: ed≡1mod Φ(n) => d≡e-1mod Φ(n)

也就是说：d 和e 是以Φ(n)为模的乘法逆元。

根据模运算规则，它的必要条件是：d、e和Φ(n)是互素的，即gcd(Φ(n),d)=1。3、因此给出RSA 方案:

1. 选择两个大素数p，q（私有，选择）

2. 计算乘积n = p q，得到Φ(n)=(p-1)(q-1)（公开，计算出）

3. 选择随机整数e，其中gcd(Φ(n),e)=1;0<e<Φ(n)（公开，选择）

4. 计算d≡e-1mod Φ(n) （私有，计算出）

5. 私有密钥由{d,n}组成，公开密钥由{e,n}组成。

假设用户 A 公布了它的公开密钥，而用户B 希望向 A 发送一个报文M，那么 B 计算出C=M^e mod n 并传输 C。在收到这个密文时，用户A 通过计算 M’=C^d mod n 进行解密。

3、编程一个简单的RSA 加、解密系统。

（1）假设用户A 选择两个素数 p 和q，计算得到 n=pq 和Φ(n)=(p-1)(q-1)。选择一个加密密钥e，它小于Φ(n)且与Φ(n)互素。计算解密密钥d≡ e-1 mod Φ(n)。则用户A 公布公开密钥{e,n}，自己拥有私有密钥{d,n}。

（2）用户B 使用用户 A 的公开密钥e 和 n 对报文M 进行加密，得到 C= M^e mod n，并发送给用户A。

（3）用户A 收到加密的报文后，使用自己的私有密钥 d 和n 对加密报文 C 进行解密，恢复得到明文M=C^d mod n。

实验代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int MOD;
int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{ if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int gcd = extended_euclid(b, a % b, x, y);int t = x % MOD;x = y % MOD;y = ((t - a / b * x) % MOD + MOD) % MOD;return gcd;
}int main()
{int p, q, i, d;cout << "输入一个质数p:";cin >> p;cout << "输入一个质数q:";cin >> q;int n = p * q;cout<<"分组加密时，每个分组的大小不能超过p*q=";cout << n << endl;//求得φ(n)=(p-1)*(q-1)的值MOD = (p - 1) * (q - 1);cout << "模φ(n)=(p-1)*(q-1)=";cout << MOD << endl << endl;//选取与φ(n)互质的公钥eint e;cout << "输入与φ(n)互质的公钥e:";cin >> e;//由e和φ(n)生成私钥dint x, y;extended_euclid(e, MOD, d, y);while(d < 0) d += MOD;cout << "通过调用扩展欧几里德算法，求得密钥d为：" << d << endl;//利用生成的公钥{e,n}对明文M进行加密int M, C;cout << "现在公钥{e,n}、私钥{d,n}均已生成完毕。\n\n请输入需要传输的明文内容进行加密(如9726):";cin >> M;C = 1;for(i = 1; i <= e; i++)C = C * M % n;cout << "明文M=" << M << "经加密后得到密文C=M^e(mod n):" << C << endl;//利用生成的私钥私钥{e,n}对密文C进行解密M = 1;for(i = 1; i <= d; i++)M = M * C % n;cout << "密文C=" << C << "经解密后得到明文M=C^d(mod n):" << M << endl;return 0;
}

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