算法分析与设计-实验二动态规划算法设计

文章目录

1、数字三角问题
2、最长公共子序列问题
3、日常购物
4、台阶问题

一、实验目的：
掌握动态规划算法的基本思想及适用条件，掌握动态规划算法的设计步骤和具体实现。

二、实验所用仪器及环境
Windows 7 以上操作系统，PC机，codeblocks环境

三、实验原理：
算法总体思想：动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。
动态规划算法设计步骤：
(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
(2)递归地定义最优值。
(3)以自底向上的方式计算出最优值。
(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

四、实验内容：

1、数字三角问题

问题描述：给定一个由n行数字组成的数字三角形，如下图所示
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。
如上图最大值为30=7+3+8+7+5

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100][100]={0};
int mem[100][100]={0};
int n;
int memd[100][100]={0};
int dp(int p,int q){if(mem[p][q]!=0){return mem[p][q];}if(p==n){mem[p][q]=a[p][q];return mem[p][q];}if(dp(p+1,q)>=dp(p+1,q+1)){memd[p][q]=q;}else{memd[p][q]=q+1;}mem[p][q]=max(dp(p+1,q),dp(p+1,q+1))+a[p][q];return mem[p][q];
}int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>a[i][j];}}//cout<<dp(1,1)<<"=";int qt,pt;qt=pt=1;for(int i=1;i<=n;i++){cout<<a[i][pt];if(i!=n){cout<<"+";}pt=memd[i][pt];}return 0;
}
//in
//5
//7
//3 8
//8 1 0
//2 7 4 4
//4 5 2 6 5
//out
//30

2、最长公共子序列问题

问题描述：给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn},找出X和Y的最长公共子序列。
输入：
第1行：两个子序列的长度，m n
第2行：第1个子序列的各个元素（序列下标从1开始）
第3行：第2个子序列的各个元素（序列下标从1开始）
输出：
最长公共子序列
实例：
输入：
第1行：
4 5 //m和n的值
第2行
abad //输入4个字符，下标从1开始
第3行
baade //输入5个字符，下标从1开始
输出：
Aad

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int recdp[1000][1000]= {0};char str1[1000];
char str2[1000];int dp(int i,int j)
{///让数组头从开始，dp0，与dp，0都代表空串///baseif(i==0||j==0)return 0;///recif(recdp[i][j]!=0){return recdp[i][j];}///相同时直接+1/// 当这里直接使用图中的0为空字符串时，一定记得，str也是从0开始计算的，所以第五个字符应该是str[4]//if(str1[i-1]==str2[j-1]){recdp[i][j]=dp(i-1,j-1)+1;return recdp[i][j];}else{///不同时直接选大的（我也不知道谁大，那就比比吧）（可能，要1，可能要2，****可能都不要）
///不需要两个都不要，两个都不要的话，第一次不要1，第二次不要2就行了，而且也不会，因为两个都不要一定是最小的
///*******不同时不要+1recdp[i][j]=max(dp(i-1,j),dp(i,j-1));return recdp[i][j];}return 0;
}
int main()
{//cout << "Hello world!" << endl;cin>>str1;cin>>str2;cout<<dp(strlen(str1),strlen(str2));return 0;}///abcde
///ace
///out
//3

3、日常购物

问题描述：小明今天很开心，因为在家买的新房子即将拿到钥匙。新房里面有一间他自己专用的、非常宽敞的房间。让他更高兴的是，他的母亲昨天对他说：“你的房间需要购买什么物品？怎么布置，你说了算，只要他们的价格总和不超过N元钱”。小明今天早上开始预算，但他想买太多的东西，肯定会超过母亲的N元限额。因此，他把对每件物品的渴望程度，分为5等级：用整数1->5表示，第5等表示最想要。他还从互联网上找到了每件商品（所有整数）的价格。他希望在不超过N元（可能等于N元）的情况下，将每件商品的价格与效益度的乘积的总和最大化.
设第j件物品的价格为p[j]，重要度为w[j]，其选中的k件商品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：
p[j1]×w[j1]+p[j2]×w[j2]+ …+p[jk]×w[jk]。
请帮小明设计一个符合要求的购物清单。
其中N=2000,K=6
p[1]=200 w[1]=2
p[2]=300 w[2]=2
p[3]=600 w[3]=1
p[4]=400 w[4]=3
p[5]=1000 w[5]=4
p[6]=800 w[6]=5

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p[10000]={0};
int w[10000]={0};
int mem[10000]={0};int dp(int n,int k){for(int i=0;i<k;i++){for(int j=n;j>=p[i];j--){mem[j]=max(mem[j],mem[j-p[i]]+p[i]*w[i]);}}return mem[n];
}
int main()
{int n,k;cin>>n>>k;for(int i=0;i<k;i++){cin>>p[i]>>w[i];}cout<<dp(n,k);return 0;
}
//in
//2000 6
//200 2
//300 2
//600 1
//400 3
//1000 4
//800 5
//out
//8400

4、台阶问题

问题描述：有n级台阶，一个人每次上一级或者两级，问有多少种走完n级台阶的方法。
实际情况：给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右走或者向下走，最后达到右下角的位置，路径中所有数字累加起来就是路径和，返回所有路径的最小路径和，如果给定的m如下，那么路径1,3,1,0,6,1,0就是最小路径和，返回12.
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mem[1000]={0};
int dp(int n)
{if(n==1){return 1;}if(n==2){return 2;}if(mem[n]!=0){return mem[n];}mem[n]=dp(n-1)+dp(n-2);return mem[n];
}
int main()
{int n;cin>>n;cout<<dp(n);return 0;
}
//in
//12
//233

五、实验结果与分析：
通过运行程序验证程序的正确性，给出程序运行结果，分析程序出现的bug的原因，调试程序过程种出现的错误和解决方法。