本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数学知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：

（国外经典教材）离散数学及其应用第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇义译，机械工业出版社

离散数学第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年

离散数学第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年

（经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社

离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册，张立昂。北京大学出版社

文章目录

2. 集合的基本运算
- 2.1 集合的交
- 2.2 集合的并
- 2.3 集合的补（相对补集、绝对补集）
- 2.4 集合的对称差
- 2.5 集合的环积
- 2.6 集合运算的性质

2. 集合的基本运算

两个集合可以以多种方式结合产生新的集合，集合的结合方式可以通过集合的基本运算来定义。下面讨论集合的几种基本运算及其性质。

2.1 集合的交

定义2.1 对于任意两个集合 A,BA, BA,B ，由所有属于集合 AAA 且属于集合 BBB 的元素组成的集合称为 A,BA, BA,B 的交集 intersection ，记为 A∩BA\cap BA∩B 。A∩B={x∣x∈A∧x∈B}A\cap B = \{ x\ |\ x \in A\land x \in B\}A∩B={x ∣ x∈A∧x∈B}

集合交运算的文氏图表示如下所示：

例1 设 A={a,b,c,e,f},B={b,e,f,r,s}A = \{a, b, c, e, f\}, B = \{b, e, f, r, s\}A={a,b,c,e,f},B={b,e,f,r,s} 和 C={a,t,u,v}C = \{a, t, u, v\}C={a,t,u,v} 。求 A∩B,B∩C,A∩CA \cap B, B\cap C, A\cap CA∩B,B∩C,A∩C 。
解：A∩B={b,e,f},B∩C=∅,A∩C={a}A\cap B = \{b, e, f\}, B\cap C = \varnothing, A\cap C = \{a \}A∩B={b,e,f},B∩C=∅,A∩C={a} 。

2.2 集合的并

定义2.2 对于任意两个集合 A,BA, BA,B ，由所有属于集合 AAA 或属于集合 BBB 的元素组成的集合称为 A,BA, BA,B 的并集 union ，记为 A∪BA\cup BA∪B 。A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A\cup B = \{ x\ |\ x\in A\lor x\in B\}A∪B={x ∣ x∈A∨x∈B}

集合并运算的文氏图表示如下所示：

例2 设 A={a,b,c},B=∅A = \{a, b, c\}, B = \varnothingA={a,b,c},B=∅ 和 C={a,u,v}C = \{a, u, v\}C={a,u,v} 。求 A∪B,B∪C,A∪CA\cup B, B\cup C, A\cup CA∪B,B∪C,A∪C 。
解：A∪B={a,b,c},B∪C={a,u,v},A∪C={a,b,c,u,v}A\cup B = \{a, b, c\}, B\cup C = \{ a, u, v\}, A\cup C = \{a, b, c, u, v\}A∪B={a,b,c},B∪C={a,u,v},A∪C={a,b,c,u,v} 。

2.3 集合的补（相对补集、绝对补集）

定义2.3.1 对于任意两个集合 A,BA, BA,B ，由所有属于集合 AAA 而不属于集合 BBB 的元素组成的集合称为集合 BBB 相对于集合 AAA 的相对补集 complement of B with respect to A ，记为 A−BA - BA−B 。A−BA - BA−B 也称为集合 AAA 与 BBB 的差。A−B={x∣x∈A∧x∉B}A - B = \{x \ | \ x \in A \land x \notin B\}A−B={x ∣ x∈A∧x∈/B}

集合差运算的文氏图表示如下所示：

例3 设 A={a,b,c},B={a,u,v}A = \{a, b, c\}, B = \{a, u, v\}A={a,b,c},B={a,u,v} 。求 A−BA - BA−B 和 B−AB - AB−A 。
解：A−B={b,c},B−A={u,v}A - B = \{b, c\}, B - A = \{u, v\}A−B={b,c},B−A={u,v} 。

定义2.3.2 如果 UUU 是包含集合 AAA 的全集，则属于 UUU 而不属于 AAA 的元素组成的集合称为集合 AAA 的补 complement of A ，记为 A‾\overline AA 。
A‾=U−A={x∣x∈U∧x∉A}\overline A = U - A = \{ x \ | \ x \in U \land x \notin A\}A=U−A={x ∣ x∈U∧x∈/A}

集合 AAA 的补集 A‾\overline AA 是集合 AAA 相对于全集 UUU 的补，也称 AAA 的绝对补集。集合绝对补运算的文氏图表示如下所示：

例4 设 U=Z,A={x∣x∈Z∧x>4}U = \Z, A = \{ x\ | \ x \in \Z \land x > 4\}U=Z,A={x ∣ x∈Z∧x>4} ，求 A‾\overline AA 。
解：A‾={x∣x∈Z∧x≤4}\overline A = \{ x\ |\ x \in \Z \land x \le 4\}A={x ∣ x∈Z∧x≤4} 。

2.4 集合的对称差

定义2.4 对于任意两个集合 A,BA, BA,B ，由属于集合 AAA 而不属于集合 BBB 以及属于集合 BBB 而不属于集合 AAA 的所有元素组成的集合称为集合 AAA 与 BBB 的对称差 symmetric difference ，记为 A⊕BA \oplus BA⊕B 。
A⊕B=(A−B)∪(B−A)={x∣(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A)}A\oplus B= (A - B) \cup (B - A) = \{ x\ |\ (x \in A \land x\notin B) \lor (x \in B \land x\notin A)\}A⊕B=(A−B)∪(B−A)={x ∣ (x∈A∧x∈/B)∨(x∈B∧x∈/A)}

集合对称差运算的文氏图表示如下所示：

例5 设 A={a,b,c,d},B={a,c,e,f,g}A = \{ a, b, c, d\}, B = \{ a, c, e, f, g\}A={a,b,c,d},B={a,c,e,f,g} ，求 A⊕BA \oplus BA⊕B 。
解：A⊕B={b,d,e,f,g}A \oplus B = \{ b, d , e, f, g\}A⊕B={b,d,e,f,g} 。

2.5 集合的环积

定义2.5 对于任意两个集合 AAA 和 BBB ，由属于集合 AAA 且属于集合 BBB ，以及既不属于集合 AAA 又不属于集合 BBB 的所有元素组成的集合，称为集合 AAA 与 BBB 的环积，记为 A⊗BA\otimes BA⊗B 。A⊗B=A⊕B‾=(A∩B)∪(A‾∩B‾)={x∣(x∈A∧x∈B)∨(x∉A∧x∉B)}A \otimes B = \overline {A \oplus B} = (A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = \{x \ | \ (x \in A \land x \in B) \lor (x \notin A\land x \notin B) \}A⊗B=A⊕B=(A∩B)∪(A∩B)={x ∣ (x∈A∧x∈B)∨(x∈/A∧x∈/B)}

集合环积运算的文氏图表示如下所示：

2.6 集合运算的性质

以上定义的集合运算（交、并、相对/绝对补、对称差、环积）满足若干性质，下表中给出了11条基本性质。注意到，集合运算的代数性质和命题逻辑的代数性质十分相似，只是没有蕴含律、双条件律、输出律、归谬律、逆反律，我们在【离散数学】代数系统第六章格与布尔代数(4) 布尔代数这篇文章中就会明白，它们都是布尔代数。

序号	性质	描述
(1)	对合律	A‾‾=A\overline {\overline A} = AA=A
(2)	等幂律	A∪A=A,A∩A=AA\cup A = A, A\cap A = AA∪A=A,A∩A=A
(3)	交换律	A∪B=B∪A,A∩B=B∩AA \cup B = B \cup A, A \cap B = B\cap AA∪B=B∪A,A∩B=B∩A
(4)	结合律	A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA \cup (B \cup C) = (A \cup B)\cup C, A\cap (B \cap C) = (A\cap B) \cap CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
(5)	分配律	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C), A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A \cap C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
(6)	吸收律	A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=AA \cup (A \cap B) = A, A \cap (A \cup B) = AA∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A
(7)	德摩根律	A∪B‾=A‾∩B‾,A∩B‾=A‾∪B‾\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B, \overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline BA∪B=A∩B,A∩B=A∪B
(8)	零律	A∪U=U,A∩∅=∅A \cup U = U, A \cap \varnothing = \varnothingA∪U=U,A∩∅=∅
(9)	同一律	A∪∅=A,A∩U=AA \cup \varnothing = A, A \cap U = AA∪∅=A,A∩U=A
(10)	矛盾律	A∩A‾=∅A \cap \overline A = \varnothingA∩A=∅
(11)	排中律	A∪A‾=UA \cup \overline A = UA∪A=U

上述性质均可以用文氏图给出直观证明，也可以利用外延公理证明，或者通过论证等式两边集合互为子集进行证明。下面我们仅证明第(7)条德摩根律，其他留作练习。

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