离散数学是编程人员进阶的必修科目，是计算机专业学生的基础课程之一，多为理论性知识，较抽象。

【离散数学】第一章(集合论基础)的小节主要有：

• 1.1集合的定义和表示
• 1.2集合与元素的关系
• 1.3集合与集合之间的关系
• 1.4一些特殊的集合
• 1.5集合的运算

在这篇中我们讨论1.2集合与元素的关系和1.3集合与集合之间的关系。

本两小节包括4个知识点——1.元素的性质，2.集合与元素的关系，3.集合与集合的关系，4.外延性定理。

元素(element)的性质

元素有三个性质，分别是：

• 确定性

一个元素与一个集合，只有两种关系，要么元素属于集合，要么元素不属于集合，没有第三种情况。

就像一个孩子和一位母亲，要么孩子是这位母亲生的，要么不是这位母亲生的，绝不可能两位母亲生出同一个孩子。

例如：对于元素a和集合A={1,2,b}，就是a不属于A，数学表达为a∉A。

对于元素b和集合C={7,9,b}，就是b属于C，数学表达为b∈C。

• 无序性

集合内元素的排列是任意的，怎么排都可以。

与数组内的元素刚好相反，(数组是元素有序的集合)但是一般而言，我们喜欢按规律来排列。

例如：{a,b,c,d}和{b,a,d,c}两个集合是相等的，但是我们一般更喜欢第一种。

• 互异性

同一个集合中有多个相同的元素只算1个，可以舍去多余，保留1个即可。即集合中的元素各不相同

例如：{1,2,2,3,a,a,b}和{1,2,3,a,b}两个集合是相等的，相同元素可以舍去。

集合与元素的关系

• 基数(cardinal number)

一个集合内所有元素的个数称为基数，即为|A|或者cardA，其中A是集合名称

例如：集合B={7,8,9,a,b,c}，那么|B|=6 (cardB=6)。

• 从属关系(∈，∉)

如果一个元素a在集合A内，那么我们称或者a属于A，数学表达为：a∈A

反之，一个元素a不在集合A内，我们称为a不属于A数学表达就是：a∉A

注意：

一个集合的元素可以是另外一个集合。

A={2,6,a}，B={1,3,{2,6,a},c}

此时集合A是集合B的一个元素。

集合与集合的关系

• 包含关系

集合A与集合B，如果集合B中的任一元素都能在集合A中找到，那么我们称为B被A包含，或者说A包含B，数学表示为：B⊆A。

• 子集(subset)

如果B包含A，那么称A是B的子集。

反之，集合A有元素不能在集合B中找到，那么称为A不被B包含，或者B不包含A，数学表示为：A￠B。

假设集合G表示“在广州的人”，集合D表示“在广东的人”，那么每一个“在广州的人”一定都能从“在广东的人”中找到，即为G中任一元素都能在D中找到，所以D包含G(G被D包含)。反之，“在广东的人”不一定在“在广州的人”中，可能去了广东其他地方，所以G不包含D(D不被G包含)。

• 真包含关系

如果集合A包含集合B，但是集合B不包含集合A，那么我们称B被A真包含，或者A真包含B ，数学表示为B⊂A。

• 真子集(proper subset)

如果A真包含B，那么称B是A的真子集

还是用集合G表示“在广州的人”，集合D表示“在广东的人”，我们知道D包含G，G不包含D，所以D真包含G。

• 相等关系

如果集合A包含集合B，且集合B包含集合A，那么我们称集合A与集合B相等，数学表达为A=B。

外延性定理

通过集合间的相等关系，我们得到一个结论：两个集合相等的充分必要条件是两个集合相互包含。

外延性定理：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素。

• 证明集合相等

先证：A⊆B(∀x∈A,......,x∈B所以...)再证：B⊆A(∀x∈B,......,x∈A所以...)由上两式知：A=B。

以上便是1.2＆1.3小节集合与元素，集合与集合之间的关系的全部内容。如果对您有帮助的话，可以点一个赞。如有错误，感谢指出。

本小节内容较为简单且基础，下次我们继续介绍1.4＆1.5小节——特殊的集合和集合的计算。