最短路径问题是几何中的常见问题，常分为平面内的最短路径和空间里的最短路径，平面内的最短路径通常用两点之间，线段最短来解决，更难一点的，需要进行转化，如将军饮马模型。空间的最短路径往往以几何体为载体，解题思路往往相同，将立体图形张开成平面图形，然后根据两点之间，线段最短，确定最短路线，以最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路线长。

策略一：化曲为直 ，将立体图形平面化

求最短距离的问题，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路线(距离)．化曲为直(学完立体图形之后也有称之为化曲为平)简单来说，体现的是一种转化化归的数学思想。这种思想方法在小学数学学习圆的周长时已经有过体现。到了初中，再到后来高中必修2中的《空间几何体的表面积与体积》都会体现这样的思想方法。与圆柱表面有关线段最小值也不仅仅如此，还有在圆柱表面上任意取两点，并求路径最短的一类型问题，都可以通过侧面展开，将曲面转化为平面来解决。在与棱柱表面有关计算时，可借鉴这种转化的办法，将棱柱的表面展开到一个平面上，并进行求解

1．如图，一圆柱高4m，底面周长为6m，现需按如图方式缠绕一圈彩带进行装饰，则彩带最短要用 m．

【解答】将圆柱展开，如右图所示，彩带最短需要：

2．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是( )

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

【解答】因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C．故选B．

3．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是( )

A．13cm B．4√61cm C．4√34cm D．52cm

【解答】由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，

∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，∴x²=(12×4)²+20²，

所以彩带最短是52cm．故选D

4．我国古代有这样一道数学问题："枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？"题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．

【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

【解答】如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，另一条直角边长5×3=15(尺)，

策略二：化折为直

解题关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体图形的进行剖面放到一个平面内，求出最短的线段．展开长方体的表面成一个平面，连接对应两点的线段长就是这两点间的距离，由于长方体的长宽高可能会有不同情况，不同情况下两点间的线段长度也有不同情况，通过比较之后才能确定最短距离。

5．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．( )

A．7√5 B．√233 C．24 D．√232

【解答】①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，

蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：利用勾股定理可求得H′E=7√5，

②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：

利用勾股定理可求得H′E=√233，故选B．

6. 如图5，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5 dm，3 dm和1 dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少?

解 ：如图5，∵ BC=3×3+3×l=12，AC=5，

∴ 由勾股定理得，AB²=AC²+BC²=169，∴ AB=13dm．

7．吴老师在与同学进行"蚂蚁怎样爬最近"的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．

(1)如图(1)正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；

(2)如图(2)长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处；

(3)如图(3)是底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体表面爬到点C处．

【解答】(1)如图，利用勾股定理可求得AC1=5√5．

(2)分两种情况：①如图，利用勾股定理可求得AC1=2√34；

②如图，利用勾股定理可求得AC1=√146．

，因为√146＞2√34，所以最短路程为2√34cm．

(3)若展开圆柱体，BC为周长的一半，如图所示：

∵底面周长为10cm，∴AD=5cm，∴利用勾股定理可求得AC=5√2cm．

可见最短路程的长为5√2．

探究拓展：我们可以得出结论， 在长方体表面求两点之间的最短距离，本质也是将一个立体图形的问题转化为平面的问题解决。利用的是棱柱的展开图，至于怎么展开，可以根据四棱柱的特征进行分析，发现一般情况下可以分为三种情况，展开之后利用勾股定理求最小值即可。本文对于棱长a,b,c的讨论，不是为了让学生只是记住这个结果，目的是为了通过从特殊到一般的分析与推理，发现他们之间蕴含的数量关系及这样的数量关系对于题目结果的影响，从发现到推理，再到应用。

【方法归纳】这类问题求解过程突出体现了转化思想，转化思想是将陌生的或不易解决的问题，设法变成我们所熟悉的或易于解决的问题。此类题的关键是将陌生立体图形展开转化成熟悉的平面图形，再利用平面几何的相关知识求最短路径．