P2598 [ZJOI2009]狼和羊的故事

题目描述
“狼爱上羊啊爱的疯狂，谁让他们真爱了一场；狼爱上羊啊并不荒唐，他们说有爱就有方向．．．．．．” Orez听到这首歌，心想：狼和羊如此和谐，为什么不尝试羊狼合养呢？说干就干！ Orez的羊狼圈可以看作一个n*m个矩阵格子，这个矩阵的边缘已经装上了篱笆。可是Drake很快发现狼再怎么也是狼，它们总是对羊垂涎三尺，那首歌只不过是一个动人的传说而已。所以Orez决定在羊狼圈中再加入一些篱笆，还是要将羊狼分开来养。 通过仔细观察，Orez发现狼和羊都有属于自己领地，若狼和羊们不能呆在自己的领地，那它们就会变得非常暴躁，不利于他们的成长。 Orez想要添加篱笆的尽可能的短。当然这个篱笆首先得保证不能改变狼羊的所属领地，再就是篱笆必须修筑完整，也就是说必须修建在单位格子的边界上并且不能只修建一部分。

输入输出格式
输入格式：
文件的第一行包含两个整数n和m。接下来n行每行m个整数，1表示该格子属于狼的领地，2表示属于羊的领地，0表示该格子不是任何一只动物的领地。

输出格式：
文件中仅包含一个整数ans，代表篱笆的最短长度。

分析

要保证篱笆长最小而把狼和羊分开来，我们可以联想到最小割模型。一个图的最小割就是把图分为两个部分（源点及汇点不在同一部）的边权和。最小割可以用最大流算法求得。

建模

要说到网络流，重点就在于建模了，我们怎么把此网格图转换为最大流网络流呢？其实对于一个格子，我们可以把它看做与上下左右四个方向都有一条连边，而把这个格子抽象成一个点，如下图：

依据题意和最大流的经验，我们可以连边了：（我以羊的一部作为源点，所以）源点连羊，狼连汇点，若相邻的点事狼，则连一条容量为1的边（他的模型意义是：把羊和狼分开【割】需要消耗“1”）

但是对于0怎么办呢？这是本题的难点

可以思索一下，若是把0全部归为狼或者羊吧，感觉又会有更优解（事实也是这样，因为狼和羊是等价的【把狼从羊中隔离开来等价于把羊从狼中隔离开来】，所以这样单方面划分是肯定不正确的），那么怎么办呢

你可能不会，但你的最大流算法一定知道怎么做

我们这样连：源点---羊--（边A，c=1）--0--（边B, c=1）--狼---汇点

试想一下，你的篱笆的作用是分割狼和羊，0这些格子要么被划分到狼的领地，要么被划分到羊的领地，若是划分到狼那边，你的算法会割开靠近羊的那条边 A ，要是划分到羊这边，他会自动割开靠近狼的边 B 。一定不存在一种割的方式，使 A 和 B 同时被割开，因为你的算法知道，割一条就足以分开两点，不需要割第二条。

所以，放手给程序去跑吧

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int RD(){int out = 0,flag = 1;char c = getchar();while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}return flag * out;}
const int maxn = 100019,INF = 1e9;
int nume = 1;
int lenx,leny;
int map[190][190];
int mx[4] = {1,-1,0,0};
int my[4] = {0,0,1,-1};
int s,t,maxflow;
int head[maxn];
struct Node{int v,dis,nxt;}E[maxn << 2];
void add(int u,int v,int dis){E[++nume].nxt = head[u];E[nume].v = v;E[nume].dis = dis;head[u] = nume;}
int lev[maxn];
bool bfs(){queue<int>Q;memset(lev,0,sizeof(lev));Q.push(s);lev[s] = 1;while(!Q.empty()){int u = Q.front();Q.pop();for(int i = head[u];i;i = E[i].nxt){int v = E[i].v;if(E[i].dis && !lev[v]){lev[v] = lev[u] + 1;Q.push(v);if(v == t)return 1;}}}return 0;}
int Dinic(int u,int flow){if(u == t)return flow;int rest = flow,k;for(int i = head[u];i;i = E[i].nxt){int v = E[i].v;if(E[i].dis && lev[v] == lev[u] + 1 && rest){k = Dinic(v,min(rest,E[i].dis));if(!k)lev[v] = 0;E[i].dis -= k;E[i ^ 1].dis += k;rest -= k;}}return flow - rest;}
int getindex(int x,int y){return (x - 1) * leny + y;}
bool judge(int x,int y){if(x < 1 || x > lenx || y < 1 || y > leny)return 0;return 1;}
/*for(int i = 1;i <= lenx;i++){for(int j = 1;j <= leny;j++){}}*/
void build(){for(int i = 1;i <= lenx;i++){for(int j = 1;j <= leny;j++){if(map[i][j] == 2){add(s,getindex(i,j),INF);add(getindex(i,j),s,0);}else if(map[i][j] == 1){add(getindex(i,j),t,INF);add(t,getindex(i,j),0);}}}for(int i = 1;i <= lenx;i++){for(int j = 1;j <= leny;j++){if(map[i][j] == 2 || map[i][j] == 0){for(int k = 0;k < 4;k++){int nx = i + mx[k],ny = j + my[k];if(!judge(nx,ny))continue;if(map[nx][ny] == 1 || map[nx][ny] == 0){add(getindex(i,j),getindex(nx,ny),1);add(getindex(nx,ny),getindex(i,j),0);}}}}}}
int main(){lenx = RD();leny = RD();for(int i = 1;i <= lenx;i++){for(int j = 1;j <= leny;j++){map[i][j] = RD();}}s = lenx * leny + 1,t = s + 1;build();int flow = 0;while(bfs())while(flow = Dinic(s,INF))maxflow += flow;printf("%d\n",maxflow);return 0;}