量子力学一基础5 厄尔米特算符与酉算符算符的谱分解

厄尔米特算符与酉算符
最小多项式
投影算符
谱分解

厄尔米特算符与酉算符

厄尔米特算符
上一讲介绍了线性算符及其伴随算符（可以理解为共轭转置），称算符AAA是Hermitian Operator（也叫self-adjoint operator）如果
A=A†A=A^{\dag}A=A†

这个定义可以类比对称矩阵。

评注
因为⟨α∣A†∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗\langle \alpha|A^{\dag}|\beta \rangle=\langle \beta|A|\alpha\rangle^*⟨α∣A†∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗

如果AAA为厄尔米特，则
⟨α∣A∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗\langle \alpha|A|\beta \rangle=\langle \beta|A|\alpha\rangle^*⟨α∣A∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗

如果α=β\alpha=\betaα=β，则
⟨α∣A∣α⟩=⟨α∣A∣α⟩∗\langle \alpha|A|\alpha \rangle=\langle \alpha|A|\alpha\rangle^*⟨α∣A∣α⟩=⟨α∣A∣α⟩∗

这说明⟨α∣A∣α⟩∈R\langle \alpha|A|\alpha \rangle \in \mathbb{R}⟨α∣A∣α⟩∈R；这是厄尔米特算符的一个重要性质，在实验物理中我们能测量到的只是实数，而⟨α∣A∣α⟩∈R\langle \alpha|A|\alpha \rangle \in \mathbb{R}⟨α∣A∣α⟩∈R可以保证我们能通过某些方式测量到算符AAA的某种均值。

酉算符

称算符UUU为酉算符(unitary operator)，如果
U†U=UU†=IU^{\dag}U=UU^{\dag}=IU†U=UU†=I

这个定义可以类比正交矩阵和酉矩阵。

评注
⟨α∣U†U∣α⟩=⟨α∣I∣α⟩=⟨α∣α⟩=(∣α⟩,∣α⟩)\langle \alpha|U^{\dag}U|\alpha \rangle=\langle \alpha|I|\alpha \rangle=\langle \alpha|\alpha \rangle=(|\alpha \rangle,|\alpha \rangle)⟨α∣U†U∣α⟩=⟨α∣I∣α⟩=⟨α∣α⟩=(∣α⟩,∣α⟩)

也就是酉算符与正交矩阵的作用类似，它不会改变矢量的长度。

本征值与本征向量

如果
A∣α⟩=a∣α⟩A|\alpha \rangle=a|\alpha \rangleA∣α⟩=a∣α⟩

就称∣α⟩|\alpha \rangle∣α⟩为AAA的本征向量（eigenvector，就是特征向量），aaa为AAA的本征值（eigenvalue，就是特征值）；通常将本征向量标准化，并用本征值标记：
∣a⟩=∣α⟩⟨α∣α⟩|a\rangle=\frac{|\alpha \rangle}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}}∣a⟩=⟨α∣α⟩∣α⟩

厄尔米特算符的本征值

考虑
A∣a⟩=a∣a⟩A|a\rangle = a|a\rangleA∣a⟩=a∣a⟩

代入厄尔米特算符的定义
⟨a∣A†∣a⟩=⟨a∣A∣a⟩=a⟨a∣a⟩=a⟨a∣A†∣a⟩=⟨a∣A∣a⟩∗=(a⟨a∣a⟩)∗=a∗\langle a |A^{\dag}|a\rangle = \langle a |A|a\rangle =a \langle a |a \rangle=a\\ \langle a |A^{\dag}|a\rangle=\langle a |A|a \rangle^*=(a\langle a |a \rangle)^*=a^* ⟨a∣A†∣a⟩=⟨a∣A∣a⟩=a⟨a∣a⟩=a⟨a∣A†∣a⟩=⟨a∣A∣a⟩∗=(a⟨a∣a⟩)∗=a∗

这说明a=a∗a=a^*a=a∗，aaa是实数，也就是说厄尔米特算符的本征值为实数。

假设a,ba,ba,b是厄尔米特算符AAA的两个不同本征值，考虑
⟨b∣A∣a⟩=a⟨b∣a⟩⟨a∣A†∣b⟩=⟨b∣A∣a⟩∗=(a⟨b∣a⟩)∗=a⟨b∣a⟩∗⟨a∣A†∣b⟩=⟨a∣A∣b⟩=b⟨a∣b⟩=b⟨b∣a⟩∗\langle b |A|a \rangle=a\langle b | a \rangle \\\langle a |A^{\dag}|b \rangle=\langle b |A|a \rangle^*=(a\langle b | a \rangle)^*=a\langle b | a \rangle^* \\ \langle a |A^{\dag}|b \rangle=\langle a |A|b \rangle = b \langle a | b \rangle=b\langle b | a \rangle^*⟨b∣A∣a⟩=a⟨b∣a⟩⟨a∣A†∣b⟩=⟨b∣A∣a⟩∗=(a⟨b∣a⟩)∗=a⟨b∣a⟩∗⟨a∣A†∣b⟩=⟨a∣A∣b⟩=b⟨a∣b⟩=b⟨b∣a⟩∗

因此
a⟨b∣a⟩∗=b⟨b∣a⟩∗a\langle b | a \rangle^*=b\langle b | a \rangle^*a⟨b∣a⟩∗=b⟨b∣a⟩∗

而a≠ba \ne ba=b，那么唯一的可能是
⟨b∣a⟩∗=(∣a⟩,∣b⟩)=0\langle b | a \rangle^* = (|a \rangle,|b\rangle)=0⟨b∣a⟩∗=(∣a⟩,∣b⟩)=0

也就是说物理态a,ba,ba,b之间不干涉（矢量∣a⟩,∣b⟩|a\rangle,|b \rangle∣a⟩,∣b⟩垂直），厄尔米特算符不同本征值对应的本征向量垂直。

最小多项式

现在假设态空间维数有限：dim(H)=n<∞dim(H)=n<\inftydim(H)=n<∞，假设AAA是一个Hermitian算符，

引理1 如果∣α⟩∈N(A2)|\alpha\rangle \in N(A^2)∣α⟩∈N(A2)，则∣α⟩∈N(A)|\alpha\rangle \in N(A)∣α⟩∈N(A)
证
∣α⟩∈N(A2)|\alpha \rangle \in N(A^2)∣α⟩∈N(A2)说明A2∣α⟩=0A†A∣α⟩=0⟨α∣A†A∣α⟩=0(A∣α⟩,A∣α⟩)=0A∣α⟩=0A^2|\alpha\rangle=0 \\ A^{\dag} A |\alpha \rangle =0 \\ \langle \alpha|A^{\dag}A|\alpha\rangle = 0 \\ (A|\alpha \rangle,A|\alpha\rangle)=0 \\ A|\alpha \rangle = 0A2∣α⟩=0A†A∣α⟩=0⟨α∣A†A∣α⟩=0(A∣α⟩,A∣α⟩)=0A∣α⟩=0

这个结论可以推广，如果nnn是正整数，则An∣α⟩=0⇒A∣α⟩=0A^n|\alpha \rangle = 0 \Rightarrow A|\alpha \rangle =0An∣α⟩=0⇒A∣α⟩=0

以n=3n=3n=3为例，
⟨α∣A3∣α⟩=⟨α∣A†A2∣α⟩=(A∣α⟩,A2∣α⟩)=0\langle \alpha|A^3|\alpha \rangle = \langle \alpha |A^{\dag}A^2|\alpha \rangle = (A|\alpha \rangle,A^2|\alpha\rangle) = 0⟨α∣A3∣α⟩=⟨α∣A†A2∣α⟩=(A∣α⟩,A2∣α⟩)=0

说明A∣α⟩A|\alpha \rangleA∣α⟩是AAA的本征值为0的态，所以
A2∣α⟩=0A^2|\alpha \rangle = 0A2∣α⟩=0

再用这个引理就有A∣α⟩=0A|\alpha\rangle=0A∣α⟩=0。

在线性代数中，线性变换是可以用矩阵表示的，线性算符AAA与之类似，也可以用矩阵表示，A∈Cn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n}A∈Cn×n，考虑态空间HHH中所有Hermitian算符组成的线性空间，它会是Cn×n\mathbb{C}^{n \times n}Cn×n的线性子空间（维数小于等于n2n^2n2），那么选择任意n×n+1n \times n+1n×n+1个向量，它们一定是线性相关的。不妨选择{I,A,A2,⋯,An2}\{I,A,A^2,\cdots,A^{n^2}\}{I,A,A2,⋯,An2}，则一定存在一组并非全部为0的常数{an2,an2−1,⋯,a1,a0}\{a_{n^2},a_{n^2-1},\cdots,a_1,a_0\}{an2,an2−1,⋯,a1,a0}使得
∑i=0n2aiAi=0\sum_{i=0}^{n^2}a_iA^i=0i=0∑n2aiAi=0

在所有形如上式的多项式中，阶数最低的被称为Minimal Polynomial（最小多项式），记为（将首项系数归一化让它称为首1多项式）
min⁡(A)=AM+bM−1AM−1+⋯b1A+b0=0\min(A)=A^M+b_{M-1}A^{M-1}+\cdots b_1A+b_0=0min(A)=AM+bM−1AM−1+⋯b1A+b0=0

记fM(x)f_M(x)fM(x)为它的特征多项式：
fM(x)=xM+bM−1xM−1+⋯+b0f_M(x)=x^M+b_{M-1}x^{M-1}+\cdots+b_0fM(x)=xM+bM−1xM−1+⋯+b0

则f(A)=0f(A)=0f(A)=0

投影算符

根据代数基本定理，特征多项式可以写成因子全为一阶线性式的乘积，即
f(x)=∏j=1M(x−cj)f(x)=\prod_{j=1}^{M}(x-c_{j})f(x)=j=1∏M(x−cj)

其中{cj}\{c_j\}{cj}是特征多项式的根（引理1要求所有的根互不相同），于是
f(A)=∏j=1M(A−cjI)f(A) = \prod_{j=1}^M(A-c_jI)f(A)=j=1∏M(A−cjI)

引入一组多项式{ϕj(x)}\{\phi_j(x)\}{ϕj(x)}，它们是M−1M-1M−1次多项式且满足
ϕj(x)=f(x)x−cj\phi_j(x)=\frac{f(x)}{x-c_j}ϕj(x)=x−cjf(x)

它有一个简单性质：ϕj(ci)=0,∀i≠j\phi_j(c_i) =0,\forall i \ne jϕj(ci)=0,∀i=j，因为ϕj(x)\phi_j(x)ϕj(x)包含除了cjc_jcj以外的所有f(x)f(x)f(x)的因子。定义
∑j=1Mϕj(x)ϕj(cj)\sum_{j=1}^M \frac{\phi_j(x)}{\phi_j(c_j)}j=1∑Mϕj(cj)ϕj(x)

这是一个M−1M-1M−1次多项式，但是对所有i=1,⋯,Mi=1,\cdots,Mi=1,⋯,M，cic_ici都是
∑j=1Mϕj(x)ϕj(cj)−1=0\sum_{j=1}^M \frac{\phi_j(x)}{\phi_j(c_j)}-1=0j=1∑Mϕj(cj)ϕj(x)−1=0

的解，于是∑j=1Mϕj(x)ϕj(cj)\sum_{j=1}^M \frac{\phi_j(x)}{\phi_j(c_j)}∑j=1Mϕj(cj)ϕj(x)恒等于1，代入x=Ax=Ax=A可得
I=∑j=1Mϕj(A)ϕj(cj)I=\sum_{j=1}^M \frac{\phi_j(A)}{\phi_j(c_j)}I=j=1∑Mϕj(cj)ϕj(A)

记Pj=ϕj(A)ϕj(cj)P_j=\frac{\phi_j(A)}{\phi_j(c_j)}Pj=ϕj(cj)ϕj(A)，则
∑j=1MPj=I\sum_{j=1}^M P_j=Ij=1∑MPj=I

其中PjP_jPj是算符，这个式子就是把一个恒等算符分解为一系列算符{Pj}\{P_j\}{Pj}。这里PjP_jPj满足
(A−cjI)Pj=f(A)ϕ((cj)=0⇒APj=cjPj(A-c_jI)P_j=\frac{f(A)}{\phi((c_j)}=0 \Rightarrow AP_j=c_jP_j(A−cjI)Pj=ϕ((cj)f(A)=0⇒APj=cjPj

所以
APj∣α⟩=cjPj∣α⟩AP_j |\alpha \rangle = c_j P_j|\alpha \rangleAPj∣α⟩=cjPj∣α⟩

也就是说PjP_jPj的作用是把态∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩投影到Hermitian算符AAA的第jjj个本征子空间中（对应于AAA的本征值cjc_jcj的投影算符），并且所有这些投影的和就是∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩本身
∣α⟩=I∣α⟩=∑j=1MPj∣α⟩|\alpha\rangle = I|\alpha \rangle = \sum_{j=1}^M P_j |\alpha \rangle∣α⟩=I∣α⟩=j=1∑MPj∣α⟩

因此任何态都可以分解为某个Hermitian算符的本征态的叠加，可以证明cjc_jcj是实数，PjP_jPj满足幂等性与厄尔米特性(Pj2=Pj,Pj†=PjP_j^2=P_j,P_j^{\dag}=P_jPj2=Pj,Pj†=Pj)。

谱分解

记对应于cjc_jcj的本征子空间为

Wj={∣α⟩:A∣α⟩=cj∣α⟩}W_{j}=\{|\alpha\rangle:A|\alpha \rangle = c_j|\alpha\rangle\}Wj={∣α⟩:A∣α⟩=cj∣α⟩}

因为对应于不同本征值的本征向量互相垂直，则{Wj}\{W_j\}{Wj}互不相交，所以
H=⊗j=1MWjH = \otimes_{j=1}^M W_jH=⊗j=1MWj

而
PjH=WjP_jH=W_jPjH=Wj

考虑
A=IAI=(∑i=1MPi)A(∑j=1MPj)=∑i,j=1MPiAPj=∑j=1MPjAPj=∑j=1McjPjA=IAI=(\sum_{i=1}^M P_i)A(\sum_{j=1}^M P_j)=\sum_{i,j=1}^M P_iAP_j \\ =\sum_{j=1}^M P_jAP_j=\sum_{j=1}^M c_jP_jA=IAI=(i=1∑MPi)A(j=1∑MPj)=i,j=1∑MPiAPj=j=1∑MPjAPj=j=1∑McjPj

这就是Hermitian算符AAA的谱分解，{cj}\{c_j\}{cj}被称为AAA的谱(spectral)。