量子力学一基础8 经典概率与量子概率

经典概率
量子概率
- 不存在干涉时，量子概率可以用经典概率解释
- 存在干涉时，量子概率无法用经典概率解释

经典概率

相信大家对经典概率论是非常熟悉的，按Kolmogorov的公理化定义，首先引入可测空间(Ω,F)(\Omega,\mathcal{F})(Ω,F)，Ω\OmegaΩ是非空集合，表示状态空间；F\mathcal{F}F是事件空间，也是状态空间的一个σ\sigmaσ-代数；引入PPP，一个自变量为集合的函数，它把集合映射成一个数值。对于可测空间(Ω,F)(\Omega,\mathcal{F})(Ω,F)，如果P:F→R+P:\mathcal{F} \to \mathbb{R}^+P:F→R+是一个测度，即

P(ϕ)=0P(\phi)=0P(ϕ)=0
∀A∈F,P(A)≥0\forall A \in \mathcal{F},P(A) \ge 0∀A∈F,P(A)≥0
∀Ai∈F,i=1,⋯,n\forall A_i \in \mathcal{F},i=1,\cdots,n∀Ai∈F,i=1,⋯,n, P(⨆i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(⨆i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)

且如果P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1，满足σ\sigmaσ-可加性，就称PPP为概率测度，或简称概率；称(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)为概率空间或者一个概率模型。

状态空间也就是试验中所有可能结果的集合，以toss a coin的试验为例，状态空间为Ω={H,T}\Omega = \{H,T\}Ω={H,T}，HHH表示数字朝上；toss n coins的状态空间可以表示为Ωn\Omega^nΩn。

F\mathcal{F}F表示toss coins的所有可能的事件（Ω\OmegaΩ的所有子集，也就是在一个事件中，有限种结果同时发生、另一些结果不发生），比如对于toss a coin，F={ϕ,{H},{T},{H,T}}\mathcal{F} = \{\phi,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}F={ϕ,{H},{T},{H,T}}，分别表示既不是正面也不是反面、正面、反面、既是正面也是反面这四个事件，显然第一个和第四个事件概率为0。F\mathcal{F}F中的事件的概率测度可以基于P(H)=P(T)=1/2P(H)=P(T)=1/2P(H)=P(T)=1/2进行计算。这个例子说明概率公理化定义的实践就是把概率空间的三个要素准确定义出来，而概率空间中的不确定性则是来源于概率测度PPP，而PPP是由试验本身的性质决定的，只有天知道它的表达式是什么，但当我们独立重复足够多次试验后可以用统计方法对PPP进行推断。

量子概率

量子概率不是很容易用公理化的形式解释，我们从一个例子开始。考虑一个线性偏振光源，它发出在竖直方向偏振的光，记偏振状态为∣v⟩|v\rangle∣v⟩，在线性偏振光传播方向上放一块偏振片，它与竖直方向呈θ\thetaθ的角度，记它的位置状态为∣θ⟩|\theta \rangle∣θ⟩。

不存在干涉时，量子概率可以用经典概率解释

如果只发出一个光子，我们只能观察到它能通过/不能通过偏振片这两种可能的结果，其中它能通过偏振片的概率为cos⁡2θ\cos^2 \thetacos2θ，被偏振片吸收的概率为sin⁡2θ\sin^2 \thetasin2θ；将偏振片旋转一下，变为∣θ+π2⟩|\theta+\frac{\pi}{2}\rangle∣θ+2π⟩（也就是与之前的位置状态垂直，这两种位置状态不会产生干涉），则此时光子能通过偏振片的概率为cos⁡2(θ+π2)=sin⁡2θ\cos^2 (\theta+\frac{\pi}{2})=\sin^2 \thetacos2(θ+2π)=sin2θ。

按平行四边形法则分解∣v⟩|v\rangle∣v⟩，可以得到
∣v⟩=(cos⁡θ)∣θ⟩+(sin⁡θ)∣θ+π2⟩|v \rangle = (\cos \theta) |\theta \rangle+(\sin \theta) |\theta+\frac{\pi}{2}\rangle∣v⟩=(cosθ)∣θ⟩+(sinθ)∣θ+2π⟩

关于这个式子的解读如下：

∣v⟩|v\rangle∣v⟩表示光源的偏振态，∣θ⟩|\theta \rangle∣θ⟩与∣θ+π2⟩|\theta+\frac{\pi}{2}\rangle∣θ+2π⟩表示在上述偏振系统（也就是测量）中可以被观察者观察到的两种偏振态，因此光源的偏振态实际上是这两种可以被观察到的偏振态的叠加，并且可以被观察到的偏振态会受到测量的影响；
分解的系数cos⁡(θ)\cos(\theta)cos(θ)与sin⁡(θ)\sin(\theta)sin(θ)表示这两种可以被观察到的偏振态的probability amplitude，它们不是概率，它们的平方才表示每个偏振态被观察到的概率；
在光源发出的一个光子被测量前，它的偏振态就是∣θ⟩|\theta \rangle∣θ⟩与∣θ+π2⟩|\theta+\frac{\pi}{2}\rangle∣θ+2π⟩的叠加，但它被测量后，它的偏振态要么是∣θ⟩|\theta \rangle∣θ⟩，要么是∣θ+π2⟩|\theta+\frac{\pi}{2}\rangle∣θ+2π⟩，在量子力学中，这被称为态的坍缩(collapse)
与经典概率抛硬币的试验不一样的是，每次独立重复试验中，被抛的硬币可以是同一个（虽然观察记录下硬币正反面的时候也发生了态的坍缩，但当我们重新准备抛到抛完进行观察之前，硬币的态又恢复成了叠加的形式），而光子的偏振态在坍缩后是不能复原的，所以即使发出多个光子进行重复观察，每一次的光子也都是不一样的

计算∣v⟩|v\rangle∣v⟩与自身的内积（注意⟨θ∣θ+π2⟩=0\langle \theta|\theta+\frac{\pi}{2}\rangle=0⟨θ∣θ+2π⟩=0）
1=⟨v∣v⟩=(cos⁡2θ)⟨θ∣θ⟩+(sin⁡2θ)⟨θ+π2∣θ+π2⟩=cos⁡2θ+sin⁡2θ1=\langle v|v \rangle = (\cos^2 \theta)\langle \theta|\theta \rangle+(\sin^2 \theta)\langle \theta+\frac{\pi}{2}|\theta+\frac{\pi}{2} \rangle \\ =\cos^2 \theta+ \sin^2 \theta1=⟨v∣v⟩=(cos2θ)⟨θ∣θ⟩+(sin2θ)⟨θ+2π∣θ+2π⟩=cos2θ+sin2θ

可以验证在这种情况下，光子被观察到的概率模型完全符合Kolmogorov公理（归一性，非负性，可加性）。

存在干涉时，量子概率无法用经典概率解释

如果只发出一个光子，我们只能观察到它能通过/不能通过偏振片这两种可能的结果，其中它能通过偏振片的概率为cos⁡2θ\cos^2 \thetacos2θ，被偏振片吸收的概率为sin⁡2θ\sin^2 \thetasin2θ；将偏振片旋转一下，变为∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩（0<∣α−θ∣<π/20<|\alpha-\theta|<\pi/20<∣α−θ∣<π/2，也就是它与之前的位置状态θ\thetaθ内积不为0，二者会互相干涉）。

计算∣v⟩|v\rangle∣v⟩与自身的内积：
1=⟨v∣v⟩=a2⟨θ∣θ⟩+a∗b⟨θ∣α⟩+b∗a⟨α∣θ⟩+b2⟨α∣α⟩=a2+b2+a∗b⟨θ∣α⟩+b∗a⟨α∣θ⟩⏟Interference1=\langle v|v \rangle \\=a^2\langle \theta|\theta \rangle+a^*b\langle \theta|\alpha \rangle+b^*a\langle \alpha|\theta\rangle+b^2\langle \alpha|\alpha\rangle \\ = a^2+b^2+\underbrace{a^*b\langle \theta|\alpha \rangle+b^*a\langle \alpha|\theta\rangle}_{Interference}1=⟨v∣v⟩=a2⟨θ∣θ⟩+a∗b⟨θ∣α⟩+b∗a⟨α∣θ⟩+b2⟨α∣α⟩=a2+b2+Interferencea∗b⟨θ∣α⟩+b∗a⟨α∣θ⟩

这时就会多出干涉项，导致量子概率与经典概率不同。