量子力学一基础4 态空间、对偶与线性算符

物理态与复线性空间
对偶空间
线性算符及其伴随算符

在线性代数中我们学习了线性空间这种代数结构，线性空间中的元素可以进行线性运算，这是对物理学中场的叠加原理最好的数学描述工具。但是线性代数中学的线性空间相关结论是以欧式空间为主的，在物理学中，我们更需要的是复线性空间(complex linear space)，比如在光的圆偏振中，偏振状态的叠加在数学上是复向量的线性运算，因此作为量子力学的基础，我们先把欧式空间中的一些结果推广到复线性空间中。

物理成果	数学工具上的进步
牛顿力学	微积分
Maxwell方程组	向量分析
量子力学	Complex Linear Algebra

物理态与复线性空间

在量子力学中，我们研究的是物理对象的一系列物理态，记为
H={∣α⟩}H = \{| \alpha \rangle\}H={∣α⟩}

其中∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩这种符号叫做Dirac ket（右矢或者包矢），它表示一种物理态，比如氢原子束缚稳定态、光粒子偏振态等，HHH是我们所要研究的一系列物理态构成的集合。

因为物理态是可以叠加的，因此我们需要HHH关于加法封闭：
∀∣α⟩,∣β⟩∈H,∣α⟩+∣β⟩∈H\forall |\alpha \rangle,|\beta \rangle \in H,|\alpha \rangle+|\beta \rangle \in H∀∣α⟩,∣β⟩∈H,∣α⟩+∣β⟩∈H

另外，物理态的“强弱”可以调节，所以我们也需要HHH关于标量积封闭：
∀a∈C,∣α⟩∈H,a∣α⟩∈H\forall a \in \mathbb{C},|\alpha\rangle \in H,a|\alpha \rangle \in H∀a∈C,∣α⟩∈H,a∣α⟩∈H

在HHH中引入分配律：
a(∣α⟩+∣β⟩)=a∣α⟩+a∣β⟩a(|\alpha \rangle+|\beta \rangle) = a|\alpha \rangle+a|\beta \ranglea(∣α⟩+∣β⟩)=a∣α⟩+a∣β⟩

这个式子的含义其实就是平行四边形法则与伸缩变换可以交换顺序进行；此外，引入其他假设（加法标量积的交换律、结合律、关于标量积的分配律、零向量等）使HHH称为线性空间。有了线性空间后可以类比定义很多有用的概念，比如：

线性无关：∣α1⟩,⋯,∣αn⟩|\alpha_1 \rangle,\cdots,|\alpha_n\rangle∣α1⟩,⋯,∣αn⟩线性独立如果a1∣α1⟩+⋯+an∣αn⟩=0a_1|\alpha_1 \rangle+\cdots+a_n|\alpha_n \rangle=0a1∣α1⟩+⋯+an∣αn⟩=0当且仅当a1=⋯=an=0a_1=\cdots=a_n=0a1=⋯=an=0
HHH的维数：在HHH中最大可能的互相独立的向量（最大线性无关组）个数（比如HHH代表光的圆偏振态，用左旋与右旋偏振片就可以完全消光，因此圆偏振态是一个二维线性空间，所有的圆偏振态都可以用左旋和右旋线性表示）

如果两个物理态叠加不产生干涉，那么这两个物理态就是垂直的，为了从数学上表示垂直，我们需要引入内积。在Cn\mathbb{C}^nCn中常用的内积是Hermite内积或者酉内积，在HHH中，用(⋅,⋅)(\cdot,\cdot)(⋅,⋅)表示两个态的内积，它应该满足：

(∣α⟩,∣α⟩)∈R+∪{0}(|\alpha \rangle,|\alpha \rangle) \in \mathbb{R}^+ \cup \{0\}(∣α⟩,∣α⟩)∈R+∪{0}，当且仅当∣α⟩=0|\alpha \rangle=0∣α⟩=0时取等；
(a∣α⟩,∣β⟩)=a∗(∣α⟩,∣β⟩)(a|\alpha\rangle,|\beta \rangle)=a^*(|\alpha\rangle,|\beta\rangle)(a∣α⟩,∣β⟩)=a∗(∣α⟩,∣β⟩)，其中a∗a^*a∗是aaa的共轭复数；
(∣α⟩,∣β⟩)=(∣β⟩,∣α⟩)∗(|\alpha\rangle,|\beta\rangle)=(|\beta\rangle,|\alpha\rangle)^*(∣α⟩,∣β⟩)=(∣β⟩,∣α⟩)∗

对偶空间

考虑HHH与C\mathbb{C}C之间的线性泛函⟨β′∣\langle \beta'|⟨β′∣，对HHH中任意物理态∣α⟩|\alpha \rangle∣α⟩，它作用在物理态上使之变成一个复数：
⟨β′∣(∣α⟩)=⟨β′∣α⟩∈C\langle \beta'|(|\alpha \rangle)=\langle \beta'|\alpha \rangle \in \mathbb{C}⟨β′∣(∣α⟩)=⟨β′∣α⟩∈C

所有的这种线性泛函构成的集合记为H∗H^*H∗，是线性空间HHH的对偶空间，HHH与H∗H^*H∗是同构的（由HHH是一个Hilbert空间诱导出来的性质）

证明
首先关于HHH及其对偶空间，我们需要知道下面两条事实

HHH中的零元与H∗H^*H∗中的零元是对应的；
对H∗H^*H∗中的非零元⟨β′∣≠0\langle \beta'| \ne 0⟨β′∣=0，记{∣r⟩:=⟨β′∣r⟩=0}=M\{|r\rangle:=\langle \beta'|r \rangle=0\}=M{∣r⟩:=⟨β′∣r⟩=0}=M则MMM是HHH的线性子空间；取MMM中的任一物理态∣γ⟩|\gamma \rangle∣γ⟩，定义{∣η⟩:(∣γ⟩,∣η⟩)=0}=M⊥\{|\eta \rangle:(|\gamma\rangle,|\eta \rangle)=0\}=M_{\perp}{∣η⟩:(∣γ⟩,∣η⟩)=0}=M⊥不难验证M⊥M_{\perp}M⊥是MMM的正交补，于是它们的直和为HHH：M⊕M⊥=HM \oplus M_{\perp}=HM⊕M⊥=H

假设dim(H)=ndim(H)=ndim(H)=n，则MMM由一个nnn元一次线性方程定义，dim(M)=n−1dim(M)=n-1dim(M)=n−1，因此
dim(M⊥)=dim(H)−dim(M)=1dim(M_{\perp})=dim(H)-dim(M)=1dim(M⊥)=dim(H)−dim(M)=1

也就是说M⊥M_{\perp}M⊥中的物理态只有一个“方向”，记为∣ϕ⟩|\phi\rangle∣ϕ⟩，则∀∣η⟩∈M⊥\forall |\eta\rangle \in M_{\perp}∀∣η⟩∈M⊥，∃a∈C\exists a \in \mathbb{C}∃a∈C，∣η⟩=a∣ϕ⟩|\eta\rangle=a|\phi\rangle∣η⟩=a∣ϕ⟩，并且(∣ϕ⟩,∣ϕ⟩)=1(|\phi\rangle,|\phi\rangle)=1(∣ϕ⟩,∣ϕ⟩)=1。∀∣α⟩∈H\forall |\alpha \rangle \in H∀∣α⟩∈H，∃∣r⟩∈M,∣η⟩∈M⊥\exists |r\rangle \in M,|\eta\rangle \in M_{\perp}∃∣r⟩∈M,∣η⟩∈M⊥，
∣α⟩=∣r⟩+∣η⟩|\alpha\rangle = |r \rangle + |\eta \rangle∣α⟩=∣r⟩+∣η⟩

因此
⟨β′∣r⟩=⟨β′∣α⟩−(∣ϕ⟩,∣α⟩)⟨β′∣ϕ⟩=0⟨β′∣α⟩=(∣ϕ⟩,∣α⟩)⟨β′∣ϕ⟩=(⟨β′∣ϕ⟩∗∣ϕ⟩,∣α⟩)\langle \beta'|r \rangle=\langle \beta'|\alpha \rangle-(|\phi\rangle,|\alpha\rangle)\langle \beta'|\phi \rangle=0 \\ \langle \beta'|\alpha \rangle=(|\phi\rangle,|\alpha\rangle)\langle \beta'|\phi \rangle=(\langle \beta'|\phi \rangle^*|\phi\rangle,|\alpha\rangle)⟨β′∣r⟩=⟨β′∣α⟩−(∣ϕ⟩,∣α⟩)⟨β′∣ϕ⟩=0⟨β′∣α⟩=(∣ϕ⟩,∣α⟩)⟨β′∣ϕ⟩=(⟨β′∣ϕ⟩∗∣ϕ⟩,∣α⟩)

定义∣β⟩=⟨β′∣ϕ⟩∗∣ϕ⟩|\beta\rangle=\langle \beta'|\phi \rangle^*|\phi\rangle∣β⟩=⟨β′∣ϕ⟩∗∣ϕ⟩，则
⟨β′∣α⟩=(∣β⟩,∣α⟩)\langle \beta'|\alpha \rangle=(|\beta\rangle,|\alpha\rangle)⟨β′∣α⟩=(∣β⟩,∣α⟩)

下面说明∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩与⟨β′∣\langle \beta'|⟨β′∣的对应具有唯一性：假设存在∣β′′⟩|\beta''\rangle∣β′′⟩使得⟨β′∣α⟩=(∣β⟩,∣α⟩)=(∣β′′⟩,∣α⟩)\langle \beta'|\alpha \rangle=(|\beta\rangle,|\alpha\rangle)=(|\beta''\rangle,|\alpha\rangle)⟨β′∣α⟩=(∣β⟩,∣α⟩)=(∣β′′⟩,∣α⟩)

评注既然∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩与⟨β′∣\langle \beta'|⟨β′∣的对应具有唯一性，以后就将⟨β′∣\langle \beta'|⟨β′∣改写为⟨β∣\langle \beta|⟨β∣，这个符号叫做Dirac Bra（左矢或者括矢）
⟨β∣α⟩=(∣β⟩,∣α⟩)=(∣α⟩,∣β⟩)∗=⟨α∣β⟩∗\langle \beta|\alpha \rangle=(|\beta\rangle,|\alpha\rangle)=(|\alpha\rangle,|\beta\rangle)^*=\langle \alpha|\beta \rangle^*⟨β∣α⟩=(∣β⟩,∣α⟩)=(∣α⟩,∣β⟩)∗=⟨α∣β⟩∗

线性算符及其伴随算符

称A:H→HA:H \to HA:H→H为线性算符，如果
A(a∣α⟩+b∣β⟩)=aA∣α⟩+bA∣β⟩A(a|\alpha\rangle+b|\beta \rangle)=aA|\alpha \rangle+bA|\beta \rangleA(a∣α⟩+b∣β⟩)=aA∣α⟩+bA∣β⟩

也就是说态空间HHH中的线性算符的作用是把态∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩映射为A∣α⟩∈HA|\alpha\rangle \in HA∣α⟩∈H，考虑这个像与线性泛函的作用：
⟨β∣A∣α⟩=(∣β⟩,A∣α⟩)\langle \beta|A|\alpha\rangle=(|\beta \rangle,A|\alpha \rangle)⟨β∣A∣α⟩=(∣β⟩,A∣α⟩)

也就是线性泛函⟨β∣\langle \beta |⟨β∣作用在A∣α⟩A|\alpha\rangleA∣α⟩上等价于线性泛函对应的包矢与A∣α⟩A|\alpha\rangleA∣α⟩的内积；但考虑另一种理解，线性泛函先作用于线性算符，得到一个新的线性泛函⟨β∣A\langle \beta|A⟨β∣A，再让这个新的线性泛函作用于∣α⟩|\alpha \rangle∣α⟩，根据HHH与H∗H^*H∗的同构，这个结果也可以写成一个包矢与∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩的内积，记这个包矢为A†∣β⟩A^{\dag}|\beta\rangleA†∣β⟩，则
⟨β∣A∣α⟩=(A†∣β⟩,∣α⟩)\langle \beta|A|\alpha\rangle=(A^{\dag}|\beta \rangle,|\alpha \rangle)⟨β∣A∣α⟩=(A†∣β⟩,∣α⟩)

其中A†A^{\dag}A†是AAA的伴随(adjoint)算符（它的作用可以理解为共轭转置）：
⟨α∣A†∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗\langle \alpha|A^{\dag}|\beta \rangle=\langle \beta|A|\alpha\rangle^*⟨α∣A†∣β⟩=⟨β∣A∣α⟩∗

对于两个线性算符的复合：
⟨α∣(BA)†∣β⟩=⟨β∣BA∣α⟩∗=[⟨β∣B(A∣α⟩)]∗=(B†∣β⟩,A∣α⟩)∗=(A†B†∣β⟩,∣α⟩)∗=⟨α∣A†B†∣β⟩\langle \alpha|(BA)^{\dag}|\beta \rangle=\langle \beta|BA|\alpha\rangle^* = [\langle \beta|B(A|\alpha \rangle)]^* \\ =(B^{\dag}|\beta \rangle,A|\alpha \rangle)^*=(A^{\dag}B^{\dag}|\beta\rangle,|\alpha\rangle)^*=\langle \alpha|A^{\dag}B^{\dag}|\beta \rangle⟨α∣(BA)†∣β⟩=⟨β∣BA∣α⟩∗=[⟨β∣B(A∣α⟩)]∗=(B†∣β⟩,A∣α⟩)∗=(A†B†∣β⟩,∣α⟩)∗=⟨α∣A†B†∣β⟩

所以
(BA)†=A†B†(BA)^{\dag}=A^{\dag}B^{\dag}(BA)†=A†B†