量子力学一基础6 厄尔米特算符的相容性

2024-06-09 08:48:40

量子力学一基础6 厄尔米特算符的相容性

相容性
用相容算符做谱分解

相容性

态空间HHH中的厄尔米特算符AAA的本征子空间为WcjW_{c_j}Wcj且满足
H=⊕j=1MWcjH=\oplus_{j=1}^M W_{c_j}H=⊕j=1MWcj

算符AAA的谱cjc_jcj与本征子空间WcjW_{c_j}Wcj是一一对应的，如果n>Mn>Mn>M，则至少有一个本征子空间的维数大于1，也就是存在至少一个本征值对应两个或多个互不干涉的本征态。但是我们希望关于算符AAA的分解满足本征值与本征态也是一一对应的，但是当n>Mn>Mn>M时，只用算符AAA本身没有办法做到这种分解，所以需要引入另一个厄尔米特算符。

假设A,BA,BA,B都是态空间HHH上的厄尔米特算符，且它们是对易的(commutable)，即AB=BAAB=BAAB=BA

则称A,BA,BA,B相容(compatible)。对于AAA的本征值aaa，如果
A∣α⟩=a∣α⟩A|\alpha\rangle = a|\alpha\rangleA∣α⟩=a∣α⟩

则
BA∣α⟩=Ba∣α⟩=a(B∣α⟩)BA∣α⟩=AB∣α⟩=a(B∣α⟩)BA|\alpha\rangle = Ba|\alpha\rangle = a(B|\alpha\rangle) \\ BA|\alpha\rangle =AB|\alpha\rangle = a(B|\alpha\rangle)BA∣α⟩=Ba∣α⟩=a(B∣α⟩)BA∣α⟩=AB∣α⟩=a(B∣α⟩)

所以B∣α⟩B|\alpha\rangleB∣α⟩也是对应于本征值aaa的本征态。

用相容算符做谱分解

假设BBB的本征值为{bj}j=1L\{b_j\}_{j=1}^L{bj}j=1L，本征子空间为WbjW_{b_j}Wbj，从HHH到WbjW_{b_j}Wbj的投影算符为QjQ_jQj，则BBB的谱分解为
B=∑j=1LbjQjB=\sum_{j=1}^L b_jQ_jB=j=1∑LbjQj

其中
∑j=1LQj=I\sum_{j=1}^L Q_j = Ij=1∑LQj=I

所以
I=II=(∑j=1LQj)(∑i=1MPi)=∑j∑iQjPiI=II=(\sum_{j=1}^LQ_j)(\sum_{i=1}^MP_i)=\sum_{j} \sum_i Q_jP_iI=II=(j=1∑LQj)(i=1∑MPi)=j∑i∑QjPi

注意到因为A,BA,BA,B是对易的，对所有的Qj,PiQ_j,P_iQj,Pi也是对易的，记Ej,i=QjPiE_{j,i}=Q_jP_iEj,i=QjPi，则
I=∑j∑iEj,iI=\sum_{j} \sum_i E_{j,i}I=j∑i∑Ej,i

此时算符A,BA,BA,B的分解为
A=∑j,iciEj,i,B=∑j,ibjEj,iA = \sum_{j,i}c_iE_{j,i},B=\sum_{j,i}b_jE_{j,i}A=j,i∑ciEj,i,B=j,i∑bjEj,i

这种分解比{Pi}\{P_i\}{Pi}更细，所以对AAA的本征子空间WciW_{c_i}Wci，可以用{Qj}\{Q_j\}{Qj}进一步分解
QjWci=QjPiH=Ej,iHQ_jW_{c_i}=Q_jP_iH=E_{j,i}HQjWci=QjPiH=Ej,iH

如果L+M<nL+M<nL+M<n，也就是依然存在某个本征子空间有两个或多个互不干涉的本征态，我们可以再找一个与A,BA,BA,B都相容的算符继续做分解，直到把态空间分解为若干只含一个本征态的子空间的直和。

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