量子力学一基础7 酉算符与Hausdorff-Campbell公式

量子力学一基础7 酉算符与Campbell公式

酉算符的本征值与本征态
Hausdorff-Campbell公式

酉算符对应于线性代数中的酉变换，它不会改变态的尺度，可以维持内积结果不变，是一种保距运算。酉算符的定义是
U†U=UU†=IU^{\dag}U=UU^{\dag}=IU†U=UU†=I

酉算符的本征值与本征态

考虑U∣u⟩=u∣u⟩U|u\rangle = u|u\rangleU∣u⟩=u∣u⟩

根据酉算符的定义
⟨u∣u⟩=⟨u∣I∣u⟩=⟨u∣U†U∣u⟩=(U∣u⟩,U∣u⟩)=(u∣u⟩,u∣u⟩)=u∗u⟨u∣u⟩⇒u∗u=1\langle u | u \rangle = \langle u |I | u \rangle =\langle u |U^{\dag}U| u \rangle=(U|u\rangle,U|u\rangle) \\=(u|u\rangle,u|u\rangle)=u^*u\langle u | u \rangle \Rightarrow u^*u=1 ⟨u∣u⟩=⟨u∣I∣u⟩=⟨u∣U†U∣u⟩=(U∣u⟩,U∣u⟩)=(u∣u⟩,u∣u⟩)=u∗u⟨u∣u⟩⇒u∗u=1

也就是说酉算符的本征值一定是模为1的复数，可以把它表示为eiλ,λ∈Re^{i\lambda},\lambda \in \mathbb{R}eiλ,λ∈R

引理如果N≠N†N \ne N^{\dag}N=N†，且NN†=N†NNN^{\dag}=N^{\dag}NNN†=N†N，就称NNN为正规矩阵(normal matrix)，定义
A=N+N†2,B=N−N†2iA = \frac{N+N^{\dag}}{2},B=\frac{N-N^{\dag}}{2i}A=2N+N†,B=2iN−N†

则A,BA,BA,B相容。可以A,BA,BA,B同时对角化，得到的谱分解为
A=∑j,kakQjPk,B=∑j,kbjQjPkA=\sum_{j,k}a_kQ_jP_k,B=\sum_{j,k}b_jQ_jP_kA=j,k∑akQjPk,B=j,k∑bjQjPk

代入A,BA,BA,B定义可以反解出NNN的谱分解为
N=∑j,k(ak+ibj)QjPkN†=∑j,k(ak−ibj)QjPkN=\sum_{j,k}(a_k+ib_j)Q_jP_k \\ N^{\dag}=\sum_{j,k}(a_k-ib_j)Q_jP_kN=j,k∑(ak+ibj)QjPkN†=j,k∑(ak−ibj)QjPk

因为酉算符是正规的，所以UUU是可以做谱分解的，记
G=diag(λ1,⋯,λn)G = diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)G=diag(λ1,⋯,λn)

则U∼eiGU \sim e^{iG}U∼eiG，其中
eiG=lim⁡x→∞(1+iGx)xe^{iG} = \lim_{x \to \infty} (1+\frac{iG}{x})^xeiG=x→∞lim(1+xiG)x

称iGiGiG为UUU的infinitesimal generator。

Hausdorff-Campbell公式

假设A,BA,BA,B是态空间HHH上的两个算符，则对s∈Rs \in \mathbb{R}s∈R，考虑
eiBsAe−iBse^{iBs}Ae^{-iBs}eiBsAe−iBs

记F=iBF=iBF=iB，引入对易括号

[F,A]=FA−AF[F,A]=FA-AF[F,A]=FA−AF

在s=0s=0s=0附近做Taylor展开，
eiBsAe−iBs=eFsAe−Fs=A+s[F,A]+s22![F,[F,A]]+s33![F,[F,[F,A]]]+⋯e^{iBs}Ae^{-iBs} = e^{Fs}Ae^{-Fs} \\ =A+s[F,A]+\frac{s^2}{2!}[F,[F,A]]+\frac{s^3}{3!}[F,[F,[F,A]]]+\cdotseiBsAe−iBs=eFsAe−Fs=A+s[F,A]+2!s2[F,[F,A]]+3!s3[F,[F,[F,A]]]+⋯

这个公式被称为Campbell公式，它的作用是基底变换时做算符的运算。