量子力学一基础1 角动量

角动量的导出
角动量的应用

角动量的导出

角动量(angular momentum)是力学中非常有用的一个量，它与能量、动量等物理量一样，是运动方程的一种积分，并可以导出相应的守恒律。我们先简单回顾一下运动方程的积分。

在力学系统的运动过程中，如果系统的自由度为sss，那么我们可以用一个sss维的向量q\textbf qq描述系统的空间位置信息，并用它对时间的导数q˙\dot{\textbf q}q˙描述系统的速度信息，称q\textbf qq为广义坐标，q˙\dot{\textbf q}q˙为广义速度，(q,q˙)(\textbf q,\dot{\textbf q})(q,q˙)这2s2s2s个变量可以描述整个系统的运动。系统的Lagrange函数为L(q,q˙,t)L(\textbf q,\dot{\textbf q},t)L(q,q˙,t)，它满足Euler-Lagrange方程：
ddt∇q˙L=∇qL\frac{d}{dt}\nabla_{\dot{\textbf q}} L = \nabla_{\textbf q}Ldtd∇q˙L=∇qL

这是一个sss维二阶微分方程组，因此它的通解包含2s2s2s个积分常数，这些积分常数中，有一个常数作为时间的加项，可以通过选择合适的零时刻消去，所以实际上有意义的积分常数有2s−12s-12s−1个，记为C1,C2,⋯,C2s−1C_1,C_2,\cdots,C_{2s-1}C1,C2,⋯,C2s−1，Euler-Lagrange方程的通解可以表示为
q=q(t,C1,C2,⋯,C2s−1)q˙=q˙(t,C1,C2,⋯,C2s−1)\textbf q = \textbf q(t,C_1,C_2,\cdots,C_{2s-1}) \\ \dot{\textbf q} = \dot{\textbf q} (t,C_1,C_2,\cdots,C_{2s-1})q=q(t,C1,C2,⋯,C2s−1)q˙=q˙(t,C1,C2,⋯,C2s−1)

基于这两个等式，我们可以把Ci,i=1,⋯,2s−1C_i,i=1,\cdots,2s-1Ci,i=1,⋯,2s−1表示为q,q˙\textbf q,\dot{\textbf q}q,q˙的函数，这些函数被称为运动方程的积分（或者运动积分），这些运动积分表示的量被称为守恒量，守恒量满足可加性。

假设空间是各向同性的，考虑系统转动δϕ⃗\delta \vec \phiδϕ，则位移的微元为
δr=δϕ⃗×r\delta \textbf r = \delta \vec \phi \times \textbf rδr=δϕ×r

因为
ddt=∂∂t+V⃗⋅∇\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}+\vec V \cdot \nabladtd=∂t∂+V⋅∇

这里的V⃗\vec VV是坐标系的运动速度，所以当坐标系固定时，
δv=δϕ⃗×v\delta \textbf v = \delta \vec \phi \times \textbf vδv=δϕ×v

根据最小作用量原理，
∫(∇rL⋅δr+∇vL⋅δv)dV=0\int ( \nabla_{\textbf r} L \cdot \delta \textbf r + \nabla_{\textbf v}L \cdot \delta \textbf v)dV=0∫(∇rL⋅δr+∇vL⋅δv)dV=0

封闭力学系统中，Lagrange函数对速度的梯度是动量，对位移的梯度是力
∇vL=P,∇rL=P˙\nabla_{\textbf v}L = \textbf P, \nabla_{\textbf r}L = \dot{\textbf P}∇vL=P,∇rL=P˙

所以
∫[P˙⋅(δϕ⃗×r)+P⋅(δϕ⃗×v)]dV=0δϕ⃗×∫(r×P˙+v×P)dV=0δϕ⃗⋅ddt∫r×PdV=0\int [\dot{\textbf P} \cdot(\delta \vec \phi \times \textbf r)+\textbf P \cdot(\delta \vec \phi \times \textbf v)]dV=0 \\ \delta \vec \phi \times \int (\textbf r \times \dot{\textbf P}+\textbf v \times \textbf P)dV=0 \\ \delta \vec \phi \cdot \frac{d}{dt}\int \textbf r \times \textbf P dV = 0∫[P˙⋅(δϕ×r)+P⋅(δϕ×v)]dV=0δϕ×∫(r×P˙+v×P)dV=0δϕ⋅dtd∫r×PdV=0

因为角位移微元δϕ⃗\delta \vec \phiδϕ具有任意性，所以
ddt∫r×PdV=0\frac{d}{dt}\int \textbf r \times \textbf P dV = 0dtd∫r×PdV=0

定义∫r×PdV=M\int \textbf r \times \textbf P dV =\textbf M∫r×PdV=M，称其为系统的角动量，在系统的运动过程中，角动量是守恒的。在四维时空中，s=4s=4s=4，运动积分有7个，分别是能量、动量的三个分量、角动量的三个分量。

角动量的应用

例1 假设有一个绕质心逆时针转动的实心球（刚体），它的质量为MMM，半径为RRR，质心离地面高度为hhh，让它自由下落，与底面接触的瞬间，接触点相对地面的速度为u(t)u(t)u(t)，质心相对地面的速度为uM(t)u_M(t)uM(t)（产生动摩擦，方向与相对速度方向相反，大小与重力成正比，比例常数为μ\muμ），绕质心转动的角速度为w(t)w(t)w(t)，我们尝试确定以上速度的方程。

取实心球与地面恰好要接触的瞬间的时刻为零时刻。先写出质心的动量方程：
dMuM(t)dt=−μMg\frac{dMu_M(t)}{dt} = -\mu MgdtdMuM(t)=−μMg

然后写出质心的角动量方程（注意球的转动惯量为25MR2\frac{2}{5}MR^252MR2）：
d(25MR2)w(t)dt=−μMgR\frac{d (\frac{2}{5}MR^2)w(t)}{dt}=-\mu M gRdtd(52MR2)w(t)=−μMgR

关于接触点速度：
u(t)=uM(t)+w(t)Ru(t)=u_M(t)+w(t)Ru(t)=uM(t)+w(t)R

联立这三个方程可以确定转速、接触点速度降低的规律。

例2 考虑一个简化的陀螺模型。用一根细杆顶着一个实心圆盘表示一个陀螺，质量为MMM半径为RRR，转动惯量近似为12MR2\frac{1}{2}MR^221MR2，自转角速度为w⃗\vec ww，进动角速度为Ω⃗\vec \OmegaΩ，α=∠(Ω⃗,w⃗)\alpha = \angle (\vec \Omega,\vec w)α=∠(Ω,w)，质心的位移为R\textbf RR，则角动量方程满足
d(12MR2∣w⃗∣)dt=Mgsin⁡α∣R∣=∣12MR2w⃗∣sin⁡α∣Ω⃗∣\frac{d (\frac{1}{2}MR^2 | \vec w|)}{dt}=Mg \sin \alpha |\textbf R|=|\frac{1}{2}MR^2\vec w| \sin \alpha |\vec \Omega| dtd(21MR2∣w∣)=Mgsinα∣R∣=∣21MR2w∣sinα∣Ω∣

从第二个等号可以看出，
∣Ω⃗∣=Mg∣R∣∣12MR2w⃗∣|\vec \Omega| = \frac{Mg|\textbf R|}{|\frac{1}{2}MR^2 \vec w|}∣Ω∣=∣21MR2w∣Mg∣R∣

根据这个角动量的方程可以确定陀螺的运动。