329. Longest Increasing Path in a Matrix 矩阵中的最长递增路径

2024-04-07 10:58:34

给定一个整数矩阵，找出最长递增路径的长度。

对于每个单元格，你可以往上，下，左，右四个方向移动。你不能在对角线方向上移动或移动到边界外（即不允许环绕）。

示例 1:

输入: nums =

[[9,9,4],[6,6,8],[2,1,1]
]

输出: 4
解释: 最长递增路径为 [1, 2, 6, 9]。

示例 2:

输入: nums =

[[3,4,5],[3,2,6],[2,2,1]
]

输出: 4
解释: 最长递增路径是 [3, 4, 5, 6]。注意不允许在对角线方向上移动。

记忆化深度优先搜索

深度优先搜索是非常直观的方法。从一个单元格开始进行深度优先搜索，即可找到从该单元格开始的最长递增路径。对每个单元格分别进行深度优先搜索之后，即可得到矩阵中的最长递增路径的长度。

但是如果使用朴素深度优先搜索，时间复杂度是指数级，会超出时间限制，因此必须加以优化。

朴素深度优先搜索的时间复杂度过高的原因是进行了大量的重复计算，同一个单元格会被访问多次，每次访问都要重新计算。由于同一个单元格对应的最长递增路径的长度是固定不变的，因此可以使用记忆化的方法进行优化。

遍历完矩阵中的所有单元格之后，即可得到矩阵中的最长递增路径的长度。

Code

 def longestIncreasingPath(self, matrix: List[List[int]]) -> int:if not matrix:return 0rows, cols, ans = len(matrix), len(matrix[0]), 0dirs = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]@lru_cache(None)def dfs(x, y):best = 1for dx, dy in dirs:nx, ny = x + dx, y + dyif -1 < nx < rows and -1 < ny < cols and matrix[nx][ny] > matrix[x][y]:best = max(best, dfs(nx, ny) + 1)return bestfor r in range(rows):for c in range(cols):ans = max(ans, dfs(r, c))return ans

复杂度分析

时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。深度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中 V 是节点数，E 是边数。在矩阵中，O(V)=O(mn)，O(E)≈O(4mn)=O(mn)。

空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。空间复杂度主要取决于缓存和递归调用深度，缓存的空间复杂度是 O(mn)，递归调用深度不会超过 mn。

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