密码学基础——辗转相除法，费马小定理，欧拉定理，裴蜀定理，中国剩余定理

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辗转相除法

辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

另一种求两数的最大公约数的方法是更相减损法。

中文名

辗转相除法

外文名

Euclidean algorithm

别称

欧几里德算法

用途

求最大公约数

基本原理

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两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。

设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数的步骤如下：

(1)用a除以b(a≥b)，得。

(2)若，则；

(3)若，则再用b除以，得 .

(4)若，则；若，则继续用除以，......，如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的除数即为的最大公约数。

证明

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设两数为a、b(a>b)，用表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即。辗转相除法即是要证明。

第一步：令，则设

第二步：根据前提可知

第三步：根据第二步结果可知，也是的因数

第四步：可以断定与互质（这里用反证法进行证明：设，则，则，则a与b的一个公约数，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾，因此c也是b与r的最大公约数）从而可知，继而。

证毕

注：以上步骤的操作是建立在刚开始时的基础之上的，即m与n亦互质。 [1]

算法描述

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用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数当时，；否则递归或循环运算得出结果。

算法流程图如下：

伪代码描述如下：

function gcd(a,b)

{

if b< >0

return gcd(b,a mod b);

else

return a；

}

示例

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例1

123456 和 7890 的最大公因数是 6，这可由下列步骤（其中，“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数）看出：

a	b	a mod b
123456	7890	5106
7890	5106	2784
5106	2784	2322
2784	2322	462
2322	462	12
462	12	6
12	6	0

例2

已知不定方程为

，利用辗转相除法求出一组整数解

解：求的算式为：

所以

代码实现

c语言

int GCD(int a,int b)

{

return b==0?a:GCD(b,a%b);

}

Java 实现

public static int gcd(int m, int n)

{

while (true)

{

if ((m = m % n) == 0)

return n;

if ((n = n % m) == 0)

return m;

}

费马小定理

费马小定理是数论中的一个定理：假如是一个整数，是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为，如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成，

这个书写方式更加常用。

欧拉定理

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公因数是1，那么

这里φ(n)是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。假如n是一个素数（质数），则φ(n) = n-1，即费马小定理。

欧拉函数

请思考以下问题：

　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

$\phi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}$

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

$\phi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k}(1-\frac{1}{p})$

可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

　　n = p1 × p2

则

　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

$n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{r}^{k_{r}}$

根据第4条的结论，得到

$\phi(n)=\phi(p_{1}^{k_{1}})\phi(p_{2}^{k_{2}})...\phi(p_{r}^{k_{r}})$

再根据第3条的结论，得到

$\phi(n)=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{r}^{k_{r}}(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})...(1-\frac{1}{p_{r}})$

也就等于

$\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})...(1-\frac{1}{p_{r}})$

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：

$\phi(1323)=\phi(3^{3}\times7^{2})=1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=756$

裴蜀定理

在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout's identity）或裴蜀定理（Bézout's lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数、和，关于未知数和的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

有整数解时当且仅当是及的最大公约数的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解、都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得算法求得。

例如，12和42的最大公约数是6，则方程有解。事实上有及。

特别来说，方程有整数解当且仅当整数和互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：其实就是最小的可以写成形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

中国剩余定理

中国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“求一术”（宋沈括）、“鬼谷算”（宋周密）、“隔墙算”（宋周密）、“剪管术”（宋杨辉）、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名。

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1, m2, ... , mn其中任两数互质，则对任意的整数：a1, a2, ... , an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设是整数m1, m2, ... , mn的乘积，并设
，即是除了mi以外的n − 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数：
方程组{\displaystyle (S)}的通解形式为：在模的意义下，方程组只有一个解：
例子：