关于素数常用结论--威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、米勒罗宾算法

　　再需要判定的数比较大时，用枚举法肯定不行的，但目前数学界也没有任何一种又快又准确的判定素数的方法，并且也证明了素数不存在任何一种通项表达式。但作为初等数论中最大的一部分内容，数学家们对素数性质进行了大量研究，并得出很多完美结论，这些结论在素数判定时能起到辅助作用。

1. 威尔逊定理：

　　若p是素数，则(p-1)!=-1 (mod p) （逆定理也成立）

　　改定理的逆定理也成立，故可用来判定素数，但其复杂度为O(n)，甚至不如试除法。此定理有时用来简化有关阶乘的计算。

2. 欧拉定理：

　　若gcd(a,m)=1，则a^Φ(m)=1 (mod m)。

　　挺常用的一个定理，证明留坑待填...

3. 费马小定理和伪素数：

　　若p为素数，则a^p-1=1 (mod p)。

　　即欧拉定理的特例，用的也比较多。

　　要注意的是该定理的逆命题并不成立，符合该定理的逆命题的合数p称为伪素数，如561就是一个伪素数。

4. 米勒罗宾算法：

　　若费马小定理的逆命题成立，那就非常好，可以轻松地用前面介绍的快速幂来判定一个数是否为素数。但可惜的是它并不成立，但人们发现，不满足逆命题的数很少，因此只要对a进行重复取值，那么判定结果的正确率能解近100%。因此，出现了这样一种概率性算法--米勒罗宾测试法。

　　算法实现待填...

　　很多时候要用到这样的算法，都是因为数据太大，而此时伴随的常常就是高精度和Java。很方便的是Java的BigInteger类提供了该方法的实现，其原型为：

boolean isProbablerPrime(int certainty)

　　如果此时的BigInteger可能为素数，则返回true; 如果一定为合数，则返回false。传入的参数越大，则判断准确率越高，但是花费的时间也越长。这个参数一般取50即可。

转载于:https://www.cnblogs.com/FrankChen831X/p/10826571.html

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