中国剩余定理与扩展中国剩余定理

中国剩余定理又名孙子定理

用来求解同余线性方程组
其中m1,m2,m3…两两互质，求x的最小整数解；

设M为m1,m2,m3…的公倍数。

根据上面的推导，为什么x的通解形式是累加呢？

根据上面推导，推导出x的解，接下来就可以开始写题了。
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3868 一道模板题

附上完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int
#define fin(a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int maxn=20;
ll a1[20],b1[20];
ll mul(ll a,ll b,ll mod)//求（a*b）%mod ，防止a*b炸ll
{ll ans=0;while(b>0){if(b&1)ans=(ans+a)%mod;//如果b对答案有贡献 a=(a+a)%mod;b>>=1;}return ans;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);ll temp=x;x=y;y=temp-(a/b)*y;return ans;
}
ll china(int n)//中国剩余定理
{ll M=1,ans=0,x,y;fin(1,n)M*=b1[i]; fin(1,n){ll a,b;a=M/b1[i];//此处的按照ax+by=1的形式，因为互素所以等号右边恒为1.b=b1[i];exgcd(a,b,x,y);x=(x%b+b)%b;//求出最小的x ans=(ans+mul(mul(a,x,M),a1[i],M))%M;//此处对应求和即ai*xi*mi }return (ans+M)%M;
}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);fin(1,n)scanf("%lld",&a1[i]);fin(1,n)scanf("%lld",&b1[i]);fin(1,n)a1[i]=(a1[i]%b1[i]+b1[i])%b1[i];//预处理数据 ll tans=china(n);printf("%lld",tans);
}

孙子定理，证毕

扩展中国剩余定理，相同的方程

但此处，m1,m2….两两不互质
这时怎么推解呢？如下图

看到上述方程是不是就明白了？我们可以根据递推，把通解带进下一个方程，看看有没有解，不就是整个方程有没有解吗？
上面的方程只有k一个未知数，用扩展欧几里得求出最小的k 值，然后再把答案更新一遍，不断的往下推。大功告成！
给两道模板题
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777
https://cn.vjudge.net/problem/POJ-2891
两道都是模板题，区别在于POJ上的需要多组数据输出。
附上完整代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define fin(a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define ll long long int
const int maxn=2e5+10;
ll a[maxn],b[maxn];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);ll temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;return gcd;
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod)//快速乘法
{   ll res=0;while(b>0){if(b&1)res=(res+a)%mod;a=(a+a)%mod;b>>=1;}return res;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll exchi(int k)
{ll a0,b0;a0=a[1];b0=b[1];fin(2,k){ll a1=a[i],b1=b[i];ll gd=gcd(a1,a0);//gcd if((b1-b0)%gd!=0)return -1;//b0表示之前方程的答案，此处b1-b0表示方程的右边 ll x,y;exgcd(a0,a1,x,y);//a0为累乘的最小公倍数，a1为当前的模值 x*=(b1-b0)/gd;//根据扩展欧几里得，出来的结果是ax+by=gcd的值，所以缩小之后需要放大 a1*=a0/gd;//a1表示最小公倍数 b0=(mul(x,a0,a1)+b0)%a1;//把答案最小化 mul中表示x*a0%a1；a0=a1;//代换递推 }return (b0%a0+a0)%a0;//最小化答案
}
int main()
{   int n; while(~scanf("%d",&n)){fin(1,n)scanf("%lld %lld",&a[i],&b[i]);ll tans=exchi(n);printf("%lld\n",tans);}}

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