欧拉定理

1、定义：若a于n互质，则aφ(n)≡1(modn)a^{\varphi(n)}\equiv1 (mod\quad n)aφ(n)≡1(modn)，这里的φ()\varphi()φ()为欧拉函数。

2、欧拉函数的证明
我们假设在1~n中和n互质的数是a1,a2,a3,...,aφ(n)a_1,a_2 ,a_3,...,a_{\varphi(n)}a1,a2,a3,...,aφ(n)
那么a∗a1,a∗a2,a∗a3,...,a∗aφ(n)a*a_1,a*a_2 ,a*a_3,...,a*a_{\varphi(n)}a∗a1,a∗a2,a∗a3,...,a∗aφ(n)也跟n互质。
并且这φ(n)\varphi(n)φ(n)个数互不相同及两两不同。
这里又出现了一个问题，那就是为什么两两不同呢？
我们这里可以用反证法。
假设有一个a∗ai=a∗aja*a_i =a* a_ja∗ai=a∗aj,那么我们就可以得到a∗ai≡a∗aj(modn)a*a_i\equiv a*a_j (mod\quad n)a∗ai≡a∗aj(modn),
然后移项得到a∗ai−a∗aj≡0(modn)a*a_i - a*a_j\equiv 0 (mod\quad n)a∗ai−a∗aj≡0(modn)。
提出一个a就是a∗(ai−aj)≡0(modn)a*(a_i - a_j)\equiv 0 (mod\quad n)a∗(ai−aj)≡0(modn),又因为a和n互质，所以我们可以约掉a 得到ai≡aj(modn)a_i \equiv a_j (mod\quad n)ai≡aj(modn) ，显然和我们得到的条件不同，因此这φ(n)\varphi(n)φ(n)个数是两两不同的。
因为是1~n之间的数，所以a1,a2,a3,...,aφ(n)a_1,a_2 ,a_3,...,a_{\varphi(n)}a1,a2,a3,...,aφ(n)和a∗a1,a∗a2,a∗a3,...,a∗aφ(n)a*a_1,a*a_2 ,a*a_3,...,a*a_{\varphi(n)}a∗a1,a∗a2,a∗a3,...,a∗aφ(n)的剩余系是相同的，及模上n之后的集合是相同的。
所以我们可以得到a∗a1+a∗a2+a∗a3+...+a∗aφ(n)≡a1+a2+a3+...+aφ(n)a*a_1+a*a_2 +a*a_3+...+a*a_{\varphi(n)}\equiv a_1+a_2 +a_3+...+a_{\varphi(n)}a∗a1+a∗a2+a∗a3+...+a∗aφ(n)≡a1+a2+a3+...+aφ(n)此时我们提出一a来就能得到aφ(n)∗(a1+a2+a3+...+aφ(n))≡a1+a2+a3+...+aφ(n)a^{\varphi(n)}*(a_1+a_2 +a_3+...+a_{\varphi(n)})\equiv a_1+a_2 +a_3+...+a_{\varphi(n)}aφ(n)∗(a1+a2+a3+...+aφ(n))≡a1+a2+a3+...+aφ(n)最后我们约去左右相同的部分我们就能得到aφ(n)≡1(modn)a^{\varphi(n)}\equiv1 (mod\quad n)aφ(n)≡1(modn)

费马小定理

1、定义：如果p是质数的话那么就有ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1 (mod\quad p)ap−1≡1(modp)
2、我们知道对于一个质数p的欧拉函数就等于p-1，那么根据欧拉定理即可得到ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1 (mod\quad p)ap−1≡1(modp)

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