初等数论--同余--欧拉函数、欧拉定理、费马小定理

概念
- 同余类，既约同余类
- 欧拉函数
- 完全剩余系，既约剩余系
关于完全剩余系、既约剩余系一些比较简单的定理
欧拉定理、费马小定理

博主是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

欧拉函数本身，其实就是一个简单描述与元素互素个数的函数，但是它涉及、以及由它推出的定理（欧拉定理、费马小定理）很重要。我会从一些小概念、小定理推到欧拉定理、费马小定理等比较难的定理。

概念

同余类，既约同余类

同余类：m∈N+,∀i∈Z,记:[i]=同余类：m\in N^{+},{\forall}i \in Z,记: [i]=同余类：m∈N+,∀i∈Z,记:[i]= { x:x∈Z,x≡i(modm)x:x\in Z,x\equiv i(mod m)x:x∈Z,x≡i(modm) }
既约同余类：(i,m)=1+同余类定义既约同余类：(i,m)=1+同余类定义既约同余类：(i,m)=1+同余类定义
如：整数6的完全剩余系：[0],[1],[2],[3],[4],[5];既约剩余系：[1],[5]如：整数6的完全剩余系：[0],[1],[2],[3],[4],[5];既约剩余系：[1],[5]如：整数6的完全剩余系：[0],[1],[2],[3],[4],[5];既约剩余系：[1],[5]

欧拉函数

小于m，且与m互素的整数个数，写作φ(m)小于m，且与m互素的整数个数，写作\varphi(m)小于m，且与m互素的整数个数，写作φ(m)

完全剩余系，既约剩余系

完全剩余系：m个整数a1,a2,a3…am,整数模m不同余完全剩余系：m个整数a_1,a_2,a_3…a_m,整数模m不同余完全剩余系：m个整数a1,a2,a3…am,整数模m不同余
既约剩余系：φ(m)个整数b1,b2,…bφ(m)既约剩余系：\varphi(m)个整数b_1,b_2,…b_\varphi(m)既约剩余系：φ(m)个整数b1,b2,…bφ(m)
如：整数6的完全剩余系：{0,1,2,3,4,5};既约剩余系{1,5}如：整数6的完全剩余系：\{0,1,2,3,4,5\};既约剩余系\{1,5\}如：整数6的完全剩余系：{0,1,2,3,4,5};既约剩余系{1,5}

关于完全剩余系、既约剩余系一些比较简单的定理

设m∈N+,a、b∈Z,(a,m)=1,若x遍历m的一个完全剩余系，则ax+b遍历m的一个完全剩余系。设m\in N^+,a、b\in Z,(a,m)=1,若x遍历m的一个完全剩余系，则ax+b遍历m的一个完全剩余系。设m∈N+,a、b∈Z,(a,m)=1,若x遍历m的一个完全剩余系，则ax+b遍历m的一个完全剩余系。

证明：若x遍历m的一个完全剩余系，则x={a0,a1,a2,…am−1}且∀ai,aj有ai和aj模m不同余,有ax+b={aa0+b,aa1+b,…aam−1+b},我们只需要证明集合ax+b中每个整数模m不同余。反证法：假设存在两个整数ai,aj使得aai+b≡aaj+b(modm),那么a(ai−aj)≡0(modm)→m∣a(ai−aj)又因为(a,m)=1,所以m∣ai−aj,即ai与aj模m同余，产生矛盾，证毕。证明：若x遍历m的一个完全剩余系，则x=\{a_0,a_1,a_2,…a_{m-1}\}且{\forall}a_i,a_j有a_i和a_j模m不同余,\\ 有ax+b=\{aa_0+b,aa_1+b,…aa_{m-1}+b\},我们只需要证明集合ax+b中每个整数模m不同余。\\ 反证法：假设存在两个整数a_i,a_j使得aa_i+b\equiv aa_j+b(mod m),\\ 那么a(a_i-a_j)\equiv 0(mod m)\rightarrow m\mid a(a_i-a_j)\\ 又因为(a,m)=1,所以m\mid a_i-a_j,即a_i与a_j模m同余，产生矛盾，证毕。证明：若x遍历m的一个完全剩余系，则x={a0,a1,a2,…am−1}且∀ai,aj有ai和aj模m不同余,有ax+b={aa0+b,aa1+b,…aam−1+b},我们只需要证明集合ax+b中每个整数模m不同余。反证法：假设存在两个整数ai,aj使得aai+b≡aaj+b(modm),那么a(ai−aj)≡0(modm)→m∣a(ai−aj)又因为(a,m)=1,所以m∣ai−aj,即ai与aj模m同余，产生矛盾，证毕。

设m1,m2是两个互素正整数，x1,x2分别遍历m1,m2的完全剩余系，则m2x1+m1x2遍历模m1,m2的完全剩余系。设m_1,m_2是两个互素正整数，x_1,x_2分别遍历m_1,m_2的完全剩余系，则m_2x_1+m_1x_2遍历模m_1,m_2的完全剩余系。设m1,m2是两个互素正整数，x1,x2分别遍历m1,m2的完全剩余系，则m2x1+m1x2遍历模m1,m2的完全剩余系。

证明：x1,x2分别遍历m1,m2的完全剩余系，则x1={a0,a1,…am1−1},x2={b0,b1,……,bm2−1},x1中有m1个元素，x2中有m2个元素，m2x1+m1x2中有m1m2个元素，现在只需证这m1m2个元素彼此模m1m2不同余。证明：x_1,x_2分别遍历m_1,m_2的完全剩余系，则x_1=\{a_0,a_1,…a_{m_1-1}\},x_2=\{b_0,b_1,……,b_{m_2-1}\},x_1中有m_1个元素，x_2中有m_2个元素，m_2x_1+m_1x_2中有m_1m_2个元素，现在只需证这m_1m_2个元素彼此模m_1m_2不同余。证明：x1,x2分别遍历m1,m2的完全剩余系，则x1={a0,a1,…am1−1},x2={b0,b1,……,bm2−1},x1中有m1个元素，x2中有m2个元素，m2x1+m1x2中有m1m2个元素，现在只需证这m1m2个元素彼此模m1m2不同余。
反证法：假设存在xi,xj,yi,yj使得m2xi+m1xj与m2yi+m1yj模m1m2同余,其中xi,yi属于x1,xj,yj属于x2,即m2xi+m1xj≡m2yi+m1yj(modm1m2)m2(xi−yi)≡m1(yj−xj)(modm1m2),即m1m2∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj),又m1∣m1m2,所以m1∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj)=m2(xi−yi)因为(m1,m2)=1,所以m1∣(xi−yi),与xi,yi为m1的完全剩余系中元素产生矛盾，同理m2,证毕。反证法：假设存在x_i,x_j,y_i,y_j使得m_2x_i+m_1x_j与m_2y_i+m_1y_j模m_1m_2同余,其中x_i,y_i属于x_1,x_j,y_j属于x_2,即\\ m_2x_i+m_1x_j\equiv m_2y_i+m_1y_j(mod m_1m_2)\\ m_2(x_i-y_i)\equiv m_1(y_j-x_j)(mod m_1m_2),\\ 即m_1m_2\mid m_2(x_i-y_i)+m_1(x_j-y_j),又m_1\mid m_1m_2,所以m_1\mid m_2(x_i-y_i)+m_1(x_j-y_j)=m_2(x_i-y_i) \\ 因为(m_1,m_2)=1,所以m_1\mid (x_i-y_i),与x_i,y_i为m_1的完全剩余系中元素产生矛盾，同理m_2,证毕。反证法：假设存在xi,xj,yi,yj使得m2xi+m1xj与m2yi+m1yj模m1m2同余,其中xi,yi属于x1,xj,yj属于x2,即m2xi+m1xj≡m2yi+m1yj(modm1m2)m2(xi−yi)≡m1(yj−xj)(modm1m2),即m1m2∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj),又m1∣m1m2,所以m1∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj)=m2(xi−yi)因为(m1,m2)=1,所以m1∣(xi−yi),与xi,yi为m1的完全剩余系中元素产生矛盾，同理m2,证毕。

设m∈N+,a∈Z,(a,m)=1,若x遍历m的一个既约剩余系，则ax遍历m的一个既约剩余系。设m\in N^+,a\in Z,(a,m)=1,若x遍历m的一个既约剩余系，则ax遍历m的一个既约剩余系。设m∈N+,a∈Z,(a,m)=1,若x遍历m的一个既约剩余系，则ax遍历m的一个既约剩余系。

先证是遍历的是m2x1+m1x2m_2x_1+m_1x_2m2x1+m1x2完全剩余系里的元素，再证是更小范围的既约剩余系里的元素
证明：若x遍历m的一个既约剩余系，则x={a0,a1,a2,…aφ(m)−1}且∀ai,aj有ai和aj模m不同余,(ai,m)=1,有ax={aa0,aa1,…aam−1},我们只需要证明集合ax中每个整数模m不同余，且∀ai,(aai,m)=1反证法：假设存在两个整数ai,aj使得aai≡aaj(modm),那么a(ai−aj)≡0(modm)→m∣a(ai−aj)又因为(a,m)=1,所以m∣ai−aj,即ai与aj模m同余，产生矛盾，即可证得ax遍历的元素属于m的完全剩余系。现在要证明ax是m的既约剩余系，还需要证明∀ai,(aai,m)=1,因为(ai,m)=1,(a,m)=1，所以(aai,m)=1证明：若x遍历m的一个既约剩余系，则x=\{a_0,a_1,a_2,…a_{\varphi(m)-1}\}且{\forall}a_i,a_j有a_i和a_j模m不同余,(a_i,m)=1,\\ 有ax=\{aa_0,aa_1,…aa_{m-1}\},我们只需要证明集合ax中每个整数模m不同余，且{\forall}a_i,(aa_i,m)=1\\ 反证法：假设存在两个整数a_i,a_j使得aa_i\equiv aa_j(mod m),\\ 那么a(a_i-a_j)\equiv 0(mod m)\rightarrow m\mid a(a_i-a_j)\\ 又因为(a,m)=1,所以m\mid a_i-a_j,即a_i与a_j模m同余，产生矛盾，即可证得ax遍历的元素属于m的完全剩余系。\\ 现在要证明ax是m的既约剩余系，还需要证明{\forall}a_i,(aa_i,m)=1,\\因为(a_i,m)=1,(a,m)=1，所以(aa_i,m)=1证明：若x遍历m的一个既约剩余系，则x={a0,a1,a2,…aφ(m)−1}且∀ai,aj有ai和aj模m不同余,(ai,m)=1,有ax={aa0,aa1,…aam−1},我们只需要证明集合ax中每个整数模m不同余，且∀ai,(aai,m)=1反证法：假设存在两个整数ai,aj使得aai≡aaj(modm),那么a(ai−aj)≡0(modm)→m∣a(ai−aj)又因为(a,m)=1,所以m∣ai−aj,即ai与aj模m同余，产生矛盾，即可证得ax遍历的元素属于m的完全剩余系。现在要证明ax是m的既约剩余系，还需要证明∀ai,(aai,m)=1,因为(ai,m)=1,(a,m)=1，所以(aai,m)=1

设m1,m2是两个互素正整数，x1,x2分别遍历m1,m2的既约剩余系，则m2x1+m1x2遍历模m1m2的既约剩余系。设m_1,m_2是两个互素正整数，x_1,x_2分别遍历m_1,m_2的既约剩余系，则m_2x_1+m_1x_2遍历模m_1m_2的既约剩余系。设m1,m2是两个互素正整数，x1,x2分别遍历m1,m2的既约剩余系，则m2x1+m1x2遍历模m1m2的既约剩余系。

核心思想跟证ax遍历m的既约剩余系一样，都是从完全剩余系开始证，再缩小范围。
证明：x1中有m1个元素，x2中有m2个元素，m2x1+m1x2中有m1m2个元素，先证是属于完全剩余系的，那么只需证这m1m2个元素间彼此模m1m2不同余。反证法：假设存在xi,xj,yi,yj使得m2xi+m1xj与m2yi+m1yj模m1m2同余,其中xi,yi属于x1,xj,yj属于x2,即m2xi+m1xj≡m2yi+m1yj(modm1m2)m2(xi−yi)≡m1(yj−xj)(modm1m2),即m1m2∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj),又m1∣m1m2,所以m1∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj)=m2(xi−yi)因为(m1,m2)=1,所以m1∣(xi−yi),与xi,yi为m1的完全剩余系中元素产生矛盾，同理m2,即证得m2x1+m1x2是属于m1m2完全剩余系的。证明：x_1中有m_1个元素，x_2中有m_2个元素，m_2x_1+m_1x_2中有m_1m_2个元素，先证是属于完全剩余系的，那么只需证这m_1m_2个元素间彼此模m_1m_2不同余。\\ 反证法：假设存在x_i,x_j,y_i,y_j使得m_2x_i+m_1x_j与m_2y_i+m_1y_j模m_1m_2同余,其中x_i,y_i属于x_1,x_j,y_j属于x_2,即\\ m_2x_i+m_1x_j\equiv m_2y_i+m_1y_j(mod m_1m_2)\\ m_2(x_i-y_i)\equiv m_1(y_j-x_j)(mod m_1m_2),\\ 即m_1m_2\mid m_2(x_i-y_i)+m_1(x_j-y_j),又m_1\mid m_1m_2,所以m_1\mid m_2(x_i-y_i)+m_1(x_j-y_j)=m_2(x_i-y_i) \\ 因为(m_1,m_2)=1,所以m_1\mid (x_i-y_i),与x_i,y_i为m_1的完全剩余系中元素产生矛盾，同理m_2,即证得m_2x_1+m_1x_2是属于m_1m_2完全剩余系的。证明：x1中有m1个元素，x2中有m2个元素，m2x1+m1x2中有m1m2个元素，先证是属于完全剩余系的，那么只需证这m1m2个元素间彼此模m1m2不同余。反证法：假设存在xi,xj,yi,yj使得m2xi+m1xj与m2yi+m1yj模m1m2同余,其中xi,yi属于x1,xj,yj属于x2,即m2xi+m1xj≡m2yi+m1yj(modm1m2)m2(xi−yi)≡m1(yj−xj)(modm1m2),即m1m2∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj),又m1∣m1m2,所以m1∣m2(xi−yi)+m1(xj−yj)=m2(xi−yi)因为(m1,m2)=1,所以m1∣(xi−yi),与xi,yi为m1的完全剩余系中元素产生矛盾，同理m2,即证得m2x1+m1x2是属于m1m2完全剩余系的。
现在证明∀xi∈x1,∀xj∈x2,(m2xi+m1xj,m1m2)=1,因为(m2xi+m1xj,m1)=(m2xi,m1)=(xi,m1)=1(m2xi+m1xj,m2)=(m1xj,m2)=(xj,m2)=1所以,(m2xi+m1xj,m1m2)=1现在证明{\forall}x_i\in x_1,{\forall}x_j\in x_2,(m_2x_i+m_1x_j,m_1m_2)=1,\\ 因为(m_2x_i+m_1x_j,m_1)=(m_2x_i,m_1)=(x_i,m_1)=1\\ (m_2x_i+m_1x_j,m_2)=(m_1x_j,m_2)=(x_j,m_2)=1\\ 所以,(m_2x_i+m_1x_j,m_1m_2)=1现在证明∀xi∈x1,∀xj∈x2,(m2xi+m1xj,m1m2)=1,因为(m2xi+m1xj,m1)=(m2xi,m1)=(xi,m1)=1(m2xi+m1xj,m2)=(m1xj,m2)=(xj,m2)=1所以,(m2xi+m1xj,m1m2)=1

设m,n是两个正整数,(m,n)=1,则φ(mn)=φ(m)φ(n)设m,n是两个正整数,(m,n)=1,则\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)设m,n是两个正整数,(m,n)=1,则φ(mn)=φ(m)φ(n)

证明：m1m2的既约剩余系中有φ(mn)个元素，x1,x2分别遍历m1,m2的既约剩余系，m2x1+m1x2中有φ(m1)φ(m2)个元素，所以φ(mn)=φ(m)φ(n)证明：\\ m_1m_2的既约剩余系中有\varphi(mn)个元素，\\ x_1,x_2分别遍历m_1,m_2的既约剩余系，m_2x_1+m_1x_2中有\varphi(m_1)\varphi(m_2)个元素，\\ 所以\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)证明：m1m2的既约剩余系中有φ(mn)个元素，x1,x2分别遍历m1,m2的既约剩余系，m2x1+m1x2中有φ(m1)φ(m2)个元素，所以φ(mn)=φ(m)φ(n)

欧拉定理、费马小定理

欧拉定理：设n∈N+,a∈Z,(a,n)=1,则aφ(n)≡1(modn)欧拉定理：设n\in N^+,a\in Z,(a,n)=1,则a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod n)欧拉定理：设n∈N+,a∈Z,(a,n)=1,则aφ(n)≡1(modn)

证明：
n的既约剩余系:{b0,b1,……,bφ(n)−1}，\{b_0,b_1,……,b_{\varphi(n)-1}\}，{b0,b1,……,bφ(n)−1}，
则由上述几个小定理中的第3个小定理：“设m∈N+,a、b∈Z,(a,m)=1,m\in N^+,a、b\in Z,(a,m)=1,m∈N+,a、b∈Z,(a,m)=1,若xxx遍历mmm的一个既约剩余系，则axaxax遍历mmm的一个既约剩余系。”，我们可得{ab0,ab1,……,abφ(n)−1}\{ab_0,ab_1,……,ab_{\varphi(n)-1}\}{ab0,ab1,……,abφ(n)−1}也是n的既约剩余系，所以有b0⋅b1⋅……⋅bφ(n)−1≡ab0⋅ab1⋅……⋅abφ(n)−1≡aφ(n)⋅b0⋅b1⋅……⋅bφ(n)−1(modn)b_0·b_1·……·b_{\varphi(n)-1}\equiv ab_0·ab_1·……·ab_{\varphi(n)-1}\equiv a^{\varphi(n)}·b_0·b_1·……·b_{\varphi(n)-1}(mod n)b0⋅b1⋅……⋅bφ(n)−1≡ab0⋅ab1⋅……⋅abφ(n)−1≡aφ(n)⋅b0⋅b1⋅……⋅bφ(n)−1(modn)

注意：
这里不是因为除法，而是因为乘法，我们已知(bi,n)=1(b_i,n)=1(bi,n)=1，根据信息安全数学基础–整除–欧几里得算法/辗转相除法中推的(a,b)=sa+tb，(a,b)=sa+tb，(a,b)=sa+tb，那么我们可以写sibi+tn=1s_ib_i+tn=1sibi+tn=1，那么同时模nnn，有sibi≡1(modn)s_ib_i\equiv 1(mod n)sibi≡1(modn)，即sis_isi是bib_ibi在模nnn的意义下的逆元。现在我们对左右同时乘逆元：(s0⋅b0)⋅(s1⋅b1)⋅……⋅(sφ(n)−1⋅bφ(n)−1)≡aφ(n)⋅(s0⋅b0)⋅(s1⋅b1)⋅……⋅(sφ(n)−1⋅bφ(n)−1)(modn)(s_0·b_0)·(s_1·b_1)·……·(s_{\varphi(n)-1}·b_{\varphi(n)-1})\equiv a^{\varphi(n)}·(s_0·b_0)·(s_1·b_1)·……·(s_{\varphi(n)-1}·b_{\varphi(n)-1})(mod n)(s0⋅b0)⋅(s1⋅b1)⋅……⋅(sφ(n)−1⋅bφ(n)−1)≡aφ(n)⋅(s0⋅b0)⋅(s1⋅b1)⋅……⋅(sφ(n)−1⋅bφ(n)−1)(modn)，即aφ(n)≡1(modn)a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod n)aφ(n)≡1(modn)

费马小定理：设n为素数,a∈Z,则an≡a(modn)费马小定理：设n为素数,a\in Z,则a^n\equiv a(mod n)费马小定理：设n为素数,a∈Z,则an≡a(modn)

证明：从n∣a和n∤a两个角度来考虑证明：从n\mid a 和n\nmid a两个角度来考虑证明：从n∣a和n∤a两个角度来考虑
若n∣a,则an≡0(modn),a≡0(modn),即an≡a≡0(modn)若n\mid a,则a^n\equiv 0(mod n),a\equiv 0(mod n),即a^n\equiv a\equiv 0(mod n)若n∣a,则an≡0(modn),a≡0(modn),即an≡a≡0(modn)
若n∤a,则由欧拉定理得，an−1≡1(modn),即an≡a(modn)若n\nmid a,则由欧拉定理得，a^{n-1}\equiv 1(mod n),即a^n\equiv a(mod n)若n∤a,则由欧拉定理得，an−1≡1(modn),即an≡a(modn)

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初等数论--同余--欧拉函数、欧拉定理、费马小定理

初等数论--同余--欧拉函数、欧拉定理、费马小定理

概念

同余类，既约同余类

欧拉函数

完全剩余系，既约剩余系

关于完全剩余系、既约剩余系一些比较简单的定理

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