三个重要的同余式——威尔逊定理、费马小定理、欧拉定理 + 求幂大法的证明
一、威尔逊定理
若p为质数,则
p|(p-1)!+1
亦:(p-1)! ≡ p-1 ≡ -1(mod p)
例题:
HDU 2973 YAPTCHA (威尔逊定理及其逆定理)
解题报告见http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/18728157
二、费马小定理
假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么
a^(p-1) ≡1(mod p)
我们可以利用费马小定理来简化幂模运算:由于a^(p-1)≡a^0≡1(mod p),所以a^x(mod p)有循环节,长度为p-1,所以a^x≡a^(x%(p-1))(mod p)
例题:
HDU 4549 M斐波那契数列 (费马小定理降幂&矩阵快速幂)
HDU 4196 Remoteland
三、欧拉定理
若a,m为正整数,且gcd(a,m) = 1,则
a^φ(m)≡1(mod m)
我们亦可以利用欧拉定理来简化幂模运算:a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)
例题:
HDU 1395 2^x mod n = 1 (欧拉定理 分解素因数)
HDU 3221 Brute-force Algorithm (矩阵 欧拉定理降幂)
为下一节做铺垫,我们将a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)变下形:
由于a^φ(m)≡1(mod m)
a^x≡a^(x%φ(m))≡a^(x%φ(m)+φ(m))(mod m)
四、求幂大法(广义欧拉定理)及其证明
对于同余式a^b≡x(mod m),如何求出x?(1<=a,m<=1000000000,1<=b<=10^1000000)
注意到b很大,我们可以先采取一些方法降幂。
若gcd(a,m)=1,那么使用欧拉定理即可:a^b≡a^(b%φ(m))(mod m)
若gcd(a,m)>1,且b>φ(m),则有“求幂大法”——a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)
(当b<=φ(m)时直接用快速幂即可)
例题:
FZU 1759 Super A^B mod C
HDU 2837 Calculation
大致证明:
1. 在a的0次,1次,...,b次幂模m的序列中,前r个数(a^0到a^(r-1))互不相同,从第r个数开始,每s个数就循环一次。
证明:由鸽巢定理易证。
我们把r称为a幂次模m的循环起始点,s称为循环长度。(注意:r可以为0)
用公式表述为:a^r≡a^(r+s)(mod m)
2. a为素数的情况
令m=(p^r)m′,则gcd(p,m')=1,所以p^φ(m')≡1(mod m')
又由于gcd(p^r,m′)=1,所以φ(m‘)|φ(m),所以p^φ(m)≡1(mod m'),
即p^φ(m)=km'+1,两边同时乘以p^r,得p^(r+φ(m))=km+p^r(因为m=(p^r)m′)
所以p^r≡p^(r+s)(mod m),这里s=φ(m)
3. 推论:p^b≡p^[r+(b-r)%φ(m)](mod m)
4. 又由于m=(p^r)m′,所以φ(m)≥φ(p^r)=[p^(r-1)](p-1)≥r
所以p^r≡p^[r+φ(m)]≡p^[r%φ(m)+φ(m)](mod m)
所以p^b≡p^[r+(b-r)%φ(m)]≡p^[r%φ(m)+φ(m)+(b-r)%φ(m)]≡p^[φ(m)+b%φ(m)](mod m)
即p^b≡p^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)
5. a为素数的幂的情况
是否依然有a^r’≡a^(r‘+s’)(mod m)?(其中s‘=φ(m),a=p^k)
答案是肯定的,由2知p^s≡1(mod m′),所以p^(s*(k/gcd(s,k))≡1(mod m′),所以当s’=s/gcd(s,k)时才能有p^(s'k)≡1(mod m′),此时s‘|s|φ(m),且r’=ceil(r/k)<=r<=φ(m)
由r',s'与φ(m)的关系,依然可以得到a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)
6. a为合数的情况
只证a拆成两个素数的幂的情况,大于两个的用数学归纳法可证。
设a=a1a2,ai=pi^ki,ai的循环长度为si
则s|lcm(s1,s2),由于s1|φ(m),s2|φ(m),那么lcm(s1,s2)|φ(m),所以s|φ(m)
r=max{ceil(ri/ki)}<=max{ri}<=φ(m)
由r,s与φ(m)的关系,依然可以得到a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)
证毕。
附:三大定理的证明(定理的引用参考《初等数论及其应用》)
一、威尔逊定理
(PS:在利用定理4.10时,仅需用到a^-1的存在性;证明中的“只有”二字要用定理4.11中的“唯一性”)
二、费马小定理
重申一遍,gcd(a,p)=1
三、欧拉定理
证明前,我们先定义一个概念:
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