6阶群的非平凡子群_简明算术教程——第二章群——第9节可解群

2024-05-22 10:54:04

本节我们简单介绍一类重要的有限群：可解群。这个名称来源于高于四次的一般代数方程根式不可解，在今后的章节将会进行详细的介绍。

我们知道，多数的群都是非交换的。辨别一个群是否为交换群(Abel群)，或者与交换群相近的程度可以有许多种方法和标准。比如说：群G是Abel群当且仅当C(G)=G。所以群G的中心C(G)越大，可以认为G越接近Abel群。又比如说：元素g是中心元素当且仅当g与自身共轭，所以有限群G为Abel群当且仅当G中的每一个元素均是一个共轭类，即共轭类数量达到了最大值|G|。所以一个有限群的共轭类数越大，也可以说明它越接近Abel群。现在我们再给出一个标准。设

$a、b\in G$ ，考虑G的换位子群

$G^{(1)}=[G,G]$ ，由于

$ab=ba\Leftrightarrow[a,b]=aba^{-1}b^{-1}=baa^{-1}b^{-1}=1$ ，因此G是Abel群当且仅当

$G^{(1)}=1$ 。群

$G^{(1)}$ 越大则不为1的换位子越多，表示G离Abel群越远。

现在我们来了解更多关于换位子群的性质。

(定理2.9.1)

$G^{(1)}\triangleleft G$ 。

证明：对于

$g,a,b\in G$ ，显然

$g[a,b]g^{-1}=[gag^{-1},gbg^{-1}]$ ，所以

$gG^{(1)}g^{-1}\leqslant G^{(1)}$ ，于是

$G^{(1)}\leqslant g^{-1}G^{(1)}g$ ，由于g可为G中的任意元素，所以也有

$G^{(1)}\leqslant gG^{(1)}g^{-1}$ ，于是

$gG^{(1)}g^{-1}=G^{(1)}$ 。这就表明

$G^{(1)}\triangleleft G$ 。证毕。

(定理2.9.2)若

$N\triangleleft G$ ，则

$G/N$ 是Abel群当且仅当

$G^{(1)}\leqslant N$ 。

证明：若

$G/N$ 是Abel群，则对每个

$a,b\in G$ 都有

$a^{-1}b^{-1}N=b^{-1}a^{-1}N\Rightarrow aba^{-1}b^{-1}N=N$ ，于是

$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}\in N$ ，即

$G^{(1)}\leqslant N$ 。特别地，

$G/G^{(1)}$ 显然是Abel群。反过来，若

$G^{(1)}\leqslant N$ ，则根据第三同构定理得

$G/N\simeq\frac{G/G^{(1)}}{N/G^{(1)}}$ ，即

$G/N$ 同构于

$G/G^{(1)}$ 的商群，从而必是Abel群。证毕。

现在记

$G^{(1)}=G',G^{(2)}=G^{(1)'},...,G^{(i)}=G^{(i-1)'}（i\geqslant2）$ 。于是得到G的一个子群序列

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright...\triangleright G^{(i-1)}\triangleright G^{(i)}\triangleright...$ ，

其中每一个

$G^{(i)}$ 都是前一个

$G^{(i-1)}$ 的正规子群。

(定义2.9.1)群G叫做可解群，是指

$n\geqslant1$ 使得

$G^{(n)}=\left\{1\right\}$ 。

每个Abel群都是可解群，因为此时

$G^{(1)}=\left\{1\right\}$ 。更一般的我们有：

(定理2.9.3)可解群的子群和商群都是可解群。

证明：若

$H\leqslant G$ ，设映射

$\varphi:G\rightarrow H$ 将

$[G:H]$ 个陪集

$g_{i}H$ 的代表元

$g_{i}$ 都映为

$1_{G}$ ，则总有

$\varphi(g_{i}hg_{j}h')=hh'=\varphi(h)\varphi(h')=\varphi(g_{i}h)\varphi(g_{j}h')$ ，所以

$\varphi$ 是满同态。若

$H\simeq G/Q$ ，则存在满同态

$\varphi:G\rightarrow G/Q$ ，显然

$\varphi(G^{(i)})=H^{(i)}$ ，则证毕。

(定理2.9.4)若

$N\triangleleft G$ ，则G可解

$\Leftrightarrow$ N和G/N均可解。

证明：由定理2.9.3知

$\Rightarrow$ 成立。现设N和G/N均可解，来证明G可解。考虑满同态

$\varphi:G\rightarrow G/N$ ，由G/N的可解性可知有n使得

$\varphi(G^{(n)})=(G/N)^{(n)}=\left\{1\right\}$ ，即

$G^{(n)}\leqslant N$ ，由N可解知

$G^{(n)}$ 也可解，从而有m使得

$(G^{(n)})^{(m)}=G^{(n+m)}=\left\{1\right\}$ 。于是G可解。证毕。

现在我们给出可解群的另一种辨别方法。

(定义2.9.2)设群G的有限多个子群组成的子群列

$G=G_{0}\geqslant G_{1}\geqslant G_{2} \geqslant...\geqslant G_{n}=\left\{1\right\}$ 。如果每个

$G_{i}$ 均是

$G_{i-1}$ 的正规子群，则称它为正规列。如果正规列中

$G_{i-1}/G_{i}$ 均是单群，则称它为合成列。一个正规列叫做可解列，是指

$G_{i-1}/G_{i}$ 均为Abel群。

(定理2.9.5)有限群G必有合成列。

证明：我们只需令每个

$G_{i}$ 均是

$G_{i-1}$ 的极大非平凡正规子群即可。假定存在

$G_{i}$ 是

$G_{i-1}$ 的极大非平凡正规子群，而

$G_{i-1}/G_{i}$ 不是单群，则设其有非平凡正规子群H，显然

$(G_{i-1}/G_{i})\cap G_{i}=\left\{1_{G}\right\}$ ，则

$H\cap G_{i}=\left\{1_{G}\right\}$ ，那么由第二同构定理可得

$G_{i}H/G_{i}\simeq H$ ，再由第三同构定理得

$\frac{G_{i-1}/G_{i}}{H}=\frac{G_{i-1}/G_{i}}{G_{i}H/G_{i}}\simeq\frac{G_{i-1}}{G_{i}H}$ ，所以

$G_{i}<G_{i}H\triangleleft G_{i-1}$ ，这与

$G_{i}$ 是

$G_{i-1}$ 的极大非平凡正规子群矛盾。证毕。

(定理2.9.6)群G是可解群当且仅当G有可解列。

证明：充分性，若G可解，则有n使

$G^{(n)}=\left\{1\right\}$ 。而

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright...\triangleright G^{(n)}=\left\{ 1 \right\}$ 是正规列，由定理2.9.2知

$G^{(i-1)}/G^{(i)}$ 均为Abel群，所以这是可解列。必要性，若G有可解列

$G=G_{0}\geqslant G_{1}\geqslant...\geqslant G_{n}=\left\{1\right\}$ ，则

$G_{i-1}/G_{i}$ 均为Abel群，由定理2.9.2知

$G_{i-1}^{(1)}\leqslant G_{i}$ ，所以若有

$G^{(i)}\leqslant G_{i}$ ，则有

$G^{(i+1)}\leqslant G_{i}^{(1)}\leqslant G_{i+1}$ ，那么根据第一归纳法，若要证明

$G^{(n)}\leqslant G_{n}$ ，则只需确保

$G^{(1)}\leqslant G_{1}$ ，而由

$G_{i-1}^{(1)}\leqslant G_{i}$ 知这是显然的，所以

$G^{(n)}\leqslant G_{n}=\left\{1\right\}$ ，即G是可解群。证毕。

(定理2.9.7)有限群G可解当且仅当G存在正规列

$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{n}=\left\{1\right\}$ ，使得

$G_{i-1}/G_{i}$ 均是素数阶循环群。

证明：充分性，检查定义2.9.2我们可知在G的可解列中

$G_{i-1}/G_{i}$ 均为Abel群，若

$G_{i-1}/G_{i}$ 为单群，则证毕，所以

$G_{i-1}/G_{i}$ 不是单群，根据定理2.8.1则必定存在正规子群

$H$ 使得

$\frac{G_{i-1}/G_{i}}{H}$ 为素数阶循环群，再由定理2.9.5可知

$\frac{G_{i-1}/G_{i}}{H}\simeq\frac{G_{i-1}}{G_{i}H}$ ，则只需考虑

$G_{i-1}$ 的正规子群

$G_{i}H$ ，根据定理2.9.3，

$G_{i}H$ 是可解的，然后重复上述论证即可。必要性，这是显然的，因为素数阶循环群均为Abel群。证毕。

(定理2.9.8)每个非Abel单群都是不可解的。

证明：这是定理2.9.7的直接推论。

(定理2.9.9)当

$n\geqslant5$ 时，

$S_{n}$ 不可解。

证明：根据定理2.9.3的逆否命题可知若G存在子群不可解，则G不可解，而

$A_{n}$ 为

$S_{n}$ 的非Abel单子群，根据定理2.9.8，它不可解，所以

$S_{n}$ 不可解。

(定理2.9.10)Burnside猜想：每个奇数阶的有限群都是可解群。

证明：这个猜想在1963年由W.Feit和J.Thompson所证明，论文长达255页。。。。所以这里就不放了。

本节完。

习题：

1.证明：若G为非Abel单群，则G'=G。

2.证明：

$D_{n}$ 都是可解群。

3.证明：若p和q为素数，且

$p>q$ ，则pq阶群可解。

4.证明：

$S_{3}$ 和

$S_{4}$ 是可解群。

5.设p,q,r均为素数(不必不同)，试证pqr阶群都是可解群。

6.证明：若群G有一个指数为4的正规子群,则G也有一个指数为2的正规子群。(提示：可以在作者的回答里找到)

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