尽管Hadamard积的应用有趣而精妙，但它并非通常研究意义上的矩阵环乘法，所以我们浅尝搁置。现在我们就要开始介绍“真正的”矩阵环乘法了，按照惯例，我们还是继续用一个有趣的应用来将矩阵环乘法的定义引出。考虑下图点的移动，其中单箭头表示单向路径，双箭头则表示双向路径。例如：

现在我们有一个问题：设图中出现的点的个数为n，定义一步的操作为从一点移动到相邻另一点，那么问若以图中的点

为起点，经过m步后，到达点

的总路径数是多少？

对于此类问题，我们需要观察点与点之间相邻的情况，对此我们很自然的就想到了要用方阵来刻画它们的关系，于是我们就引出了毗邻矩阵的定义

(定义4.1.12)毗邻矩阵。设有n阶方阵

，其中元素

为点

到点

的路径数。需要注意的是，点

到点

与点

到点

是不一样的，它们的路径代表相反的方向。而这样的方阵就叫做图的毗邻矩阵，那么以上图为例，它的毗邻矩阵为

由此可见，用毗邻矩阵来表示点与点之间的相邻关系是十分简洁方便的。

有了这个方阵的表示，我们就可以开始着手解决这个问题了。首先我们考虑经过2步后

到

的总路径数，由于移动步数只有2步，所以它的路径类型必定形如

，其中

遍历图中的所有点，则经过某个点

的路径数为

，从而总路径数就是

，若令这个数为n阶方阵M的第i行第j列元素，使得

，那么这个矩阵的每一个元素(第i行第j列元素)就是经过2步后

到

的总路径数。若令M是毗邻矩阵A经过某种乘法

的2次乘幂，即

，则由此我们引出了矩阵环乘法的定义

(定义4.1.13)矩阵环乘法。设有

矩阵

和

矩阵

，则它们有矩阵环乘法

使得

，其中

为

矩阵。矩阵环乘法通常不遵循交换律，显然使得两矩阵可以进行矩阵环乘法的充要条件是左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数(即n)，那么当

时，若令左乘为B，右乘为A，则

就没有定义了，因为它们之间不能进行矩阵环乘法了，所以通常

。矩阵环乘法虽然不交换，但是遵循结合律，现在就能直接说明，设有

矩阵

，考虑矩阵乘积

，它有不同的结合次序

和

，其中

由于求和符号可交换，所以

，从而矩阵环乘法遵循结合律。

对比Hadamard积，我们发现定义Hadamard积的矩阵中的元素甚至不必是环中的元素，因为它有定义式

，这意味着A和B中的元素只需要存在一种运算即可，(只要求

属于某个群，甚至可以是任意单算符代数！)。再来看上述定义的乘法，它有定义式

，它蕴含了两种运算，于是它要求

属于某个环或者双算符代数。这么看来，的确是上述定义的乘法更加适合成为矩阵环乘法，尽管它的定义要比Hadamard积的定义要复杂，但这往往意味着它能做到的事会比Hadamard积能做到的更多，我们可以在接下来的章节拭目以待。所以，如无特殊的声明，我们默认矩阵乘积为矩阵环乘法，并用并列来表示矩阵环乘法而省略运算符

，同时又由于矩阵环乘法符合结合律，因此方阵可存在乘幂的表示，那么方阵的乘幂也默认为矩阵环乘法。

回到刚才的问题，无需花费多少功夫就能证得

(定理4.1.11)方阵

中的第i行第j列元素就是经过m步后

到

的总路径数。

证明：利用第一归纳法。先是归纳步骤，证明当m-1成立时，m成立。若m-1成立，那么方阵

中的第i行第k列元素就是经过m-1步后

到

的总路径数。设

，则先经过m-1步走到

后再到

的路径数为

，从而总路径数就是

，这恰好就是矩阵

，中的第i行第j列元素，进而m也成立。所以根据归纳原理，我们只需确保

时定理成立，而这是显然的。Q.E.D

在完美的解决了以上提出的问题后，我们不妨给这个问题增加一些难度：设图中出现的点的个数为n，若从某点

在可选择的路径中1步移动到另一点

的概率为固定概率

，那么问若以图中的点

为起点，经过m步后，到达点

的概率是多少？

这就是随机过程中的基础模型，对此，我们不妨随着好奇心，顺水推舟的直接初步理解随机过程吧。为了解决这类问题，我们只需把毗邻矩阵的元素直接赋值为概率(正实数)，使其成为

(定义4.1.14)Markvo矩阵。设有n阶方阵

，根据上述问题的描述，方阵的每一行元素都构成一个概率分布，即每个元素

，且

。这就是在随机过程中十分重要的Markvo矩阵(有时也称为Markvo转移矩阵)了。

(定理4.1.12)Markvo矩阵之间的乘积仍为Markvo矩阵。

证明：设有n阶Markvo矩阵

和

，考虑矩阵乘积

，则我们只需要证明

。

由于求和符号可交换，则有

由于P'为Markvo矩阵，所以

而P也是Markvo矩阵，所以

，则

那么根据第一归纳法，若干个Markvo矩阵相乘得出的结果也是一个Markvo矩阵。Q.E.D

那么类似的，对于修改过后的问题我们也能迅速给出解答

(定理4.1.13)方阵

中的第i行第j列元素就是经过m步后

到

的概率。

证明：先考虑最简单的情形，计算经过2步后

到

的概率，由于概率的传递是通过实数域的乘法来实现的，所以通过只有2步的路径

到达

的概率为

，而经过2步后

到

的概率就是所有路径

概率的叠加，所以这个概率为

，然后我们要验证这个概率是合理的，根据定理4.1.12我们得知矩阵

是Markvo矩阵，所以

，这意味着

在

中所处的第i行恰好构成了一个概率分布，故而

作为概率是合理的，那么仿照定理4.1.11的证明过程我们便完成了定理4.1.13的证明。同时，又由定理4.1.12得知，对于任意正整数c，

都是Markvo矩阵，这就确保了这个证明的每一步归纳过程都是合理的。Q.E.D

以上就是这个基本模型的成套解决方法了。

现在我们就可以给出通常研究意义上的矩阵环的定义了。

(定义4.1.15)矩阵环。设

为由环R嵌成的所有n阶方阵的集合，而

、

和

为

中任意3个元素，现为其定义加法和乘法，其中它的加法为由环加法

诱导的Hadamard积，即

，而它的乘法为矩阵环乘法(蕴含环R的加法

和乘法)，即

，可以看出

是Abel群(幺元为

)，

为半群，且有

所以

又为

扭元。现证明

的

对

符合左右分配律

所以

是一个环，可简记为

。

根据矩阵环的定义，我们知道只要R是环，R都可以通过嵌入n阶方阵来生成

并使其成为一个环，注意到

自身也是环，所以它也可以嵌入k阶方阵，使得

也是环(我♂嵌♂入♂我♂自♂己)，于是我们就引出了矩阵分块环的定义。

(定义4.1.16)矩阵分块。设

为由环R嵌成的所有kn阶方阵生成的矩阵环，则我们可以证明有环同构

。显然

的矩阵都有形式

，其中

，且

为

的元素，这意味着

中的矩阵都是由

个n阶方阵拼接而成的，把

展开后，就得到一个

矩阵，即为kn方阵，所以

。现证它们有相同的加法，

中的加法为

加法诱导的Hadamard积，这说明在M中每个

的相加都是相互独立的，而

的加法就是由环R加法诱导的Hadamard积，在矩阵

中的每个环R元素相加也是相互独立的，所以

加法也是由环R加法诱导的Hadamard积，这就说明它与

加法一样。再证它们有相同的乘法，设

，其中

，且

为

的元素，设

和

，其中

，则我们可以用下标

来表示M和N中的任意环R元素，即M、N可改写为

和

，其中上槽

表示行的序数，下槽

则表示列的序数，如令

和

分别为M和N中分别把

和

展开后得到的kn阶方阵，则有

和

，于是考虑乘积MN，我们有

所以

与

的乘法是等价的。最后证明它们有相同的零元，显然有

，从而

。对于这种由矩阵环嵌入矩阵生成的环，我们称其为矩阵分块环。

另外，若把限制放宽，矩阵分块环的乘法并不局限于矩阵分块环，考虑

矩阵

与

矩阵

相乘，显然A是由kl个

矩阵拼接而成的(这里相当于

嵌入

变成

，但它们并不是环)，B则是由lo个

矩阵拼接而成的，则A和B可改写为

所以

由此可见，矩阵环乘法在更一般的矩阵中也同样适用。

对于以矩阵作为元素的环，我们现在了解到了有两种：矩阵环和Hadamard环。现在再介绍多一种以矩阵作为元素的环

(定义4.1.17)Kronecker环。若我们让矩阵的集合不限于相同规格

，于是我们把确定矩阵规格的集合下标

去掉，使集合扩大到所有规格的矩阵，并记其为

，若令以环R加法

诱导的Hadamard积为

加法，环R乘法诱导的Kronecker积为

乘法，那么双算符代数结构

是一个环，我们称这种环为Kronecker环(同样没人取名。。。无奈自己取一个233，于是沿袭Hadamard环的取名手法，就叫它Kronecker环吧)。先说明子代数

是个Abel群，为了让其成为群，我们定义不同规格的矩阵

和

相加后得到的矩阵规格为

，并且两个不同规格的矩阵规格扩张后没有定义的位置的元素一律赋值为

，例如：

那么显然

就是

的幺元，从而

便成为了一个Abel群。

显然

是个半群，若环R存在幺元

，则

还是个含幺半群，因为显然有

，则其幺元为标量

(1阶方阵)。

显然

对

符合左右分配律，实际上由任意算符

诱导的Kronecker积

都对

符合左右分配律，因为总有

显然有

，所以

为

扭元。故

的确是一个环。

需要注意的是，对于任意算符

，代数结构

一般并不是环。考虑由环R加法

诱导的Kronecker积

，存在代数结构

，它的子代数

是个半群，且还是幺半群，因为显然有

其中

表示环R的单个元素左作用或右作用于矩阵B，则

的幺元为标量

(1阶方阵)，然而

同时也是

的幺元，这意味着

的幺元不是

的扭元！这就说明了

不是环。

稍微再发挥一下想象力，不介意让脑洞再变大一点，诱导Kronecker积的算符甚至可以是矩阵环乘法

，此时这个Kronecker积记为

，令

为

矩阵与

矩阵的矩阵环乘法，设有

矩阵

和

矩阵

，其中

为

矩阵，

为

矩阵，则有

其中最终表达式的各个指标的上限分别为

，所以

是一个

矩阵。

若

为n阶方阵的矩阵环乘法，则

是一个Kronecker环(读者自证)，如果环R有幺元

，则

还是个含幺环，其幺元为对角元全为

的n阶对角方阵。

我们来看它与

的关系，显然

为

的理想(读者自证)。若仅仅作为集合，有

，虽然

并不是

的子环，这是因为

和

是不同的乘法，但是这两种不同的乘法却都可以得出

的矩阵元素，并且有

和

这就像是

继承了

的机制一般，故以此作为灵感，我们就称

为

的继承理想。

再回到Kronecker积本身，我们都知道它的运算一般都不交换，即通常

，即便如此，我们还是可以从

中寻找到一些Kronecker积可交换的元素的。设R为交换环：

考虑

矩阵

和

矩阵

的Kronecker积

和

，它们都是

矩阵，容易验证

，因为R为交换环，总有

，更一般的，我们还有

(定理4.1.14)若算符

可交换，则任意

矩阵与

矩阵的Kronecker积

也可交换。

证明：因为

可交换，所以总有

。

(定义4.1.18)共(反)变向量。

矩阵是一个行向量，代表了一个n维线性空间

，称为n维共变向量。而

是一个列向量，它的线性空间

的维数为m，称为m维反变向量。其中

和

互为对偶的线性空间，即有

。

定理4.1.14转换为定义4.1.18的语言即为

。

(定理4.1.15)若m存在素因分解

，则m维共(反)变向量皆是由

个

维共(反)变向量,

个

维共(反)变向量,...,

个

维共(反)变向量一起用Kronecker积张成的(乘积顺序不限)，即有

和

。

证明：这是显然的，不过需要注意的是每个

维共(反)变向量通常并不是唯一的(即使按固定顺序进行Kronecker积也不是唯一的)。

受矩阵分块的启发，我们发现，对于任意两个正整数

和

，

矩阵都能表示为

，其中指标

和

的上限分别对应着

和

，而这种分块表示是非常方便的，由此引出多重线性代数中重要的概念

(定义4.1.19)张量。设

，其中

中的元素称为

型张量，p和q分别称为反变次数和共变次数。

(

)型张量称为反变(共变)张量。

(

)型张量为反变(共变)向量。

型张量就是标量。

(定理4.1.16)任意

矩阵都能解释为一个张量，即能表为

的形式。

证明：Kronecker环

告诉我们，任意

矩阵M都可由若干个矩阵通过

乘积得到，即若

，则

(此处假设

)

根据定理4.1.14，我们可以通过交换互为对偶的空间的Kronecker积顺序使得所有的反变向量全堆积在左边，共变向量全堆积在右边，从而就有

Q.E.D

本节完。

习题：

1.现把对角拉丁方的概念弱化：我们把拉丁方中对角元素包含X全集的拉丁方称为半对角拉丁方。同时，对角元素之和等于幻数的幻方叫半魔方。那么请证明：

(1)若存在素数

使得

，则存在一个n阶半对角拉丁方。

(2)若存在素数

使得

，则存在一个n阶魔方。

2.若我们把幻方的定义放宽：定义幻方

的仿射变换

，显然，它的所有行和与列和都相等，即有

，那么它的幻数就是

，于是我们也称这种方阵为幻方。类似的，也可以用同样的方法来放宽半魔方和魔方的定义，需要注意的是，此时

中的元素皆取自一个公差为k的等差数列。显然，也可以将此应用到拉丁方中，此时集合X变为集合

，它的元素就是一节等差数列。

考虑一种特殊的9阶拉丁方，它可以被划分为九个3阶方阵分块，其中每个分块包含了集合X的所有元素，这个拉丁方就是大名鼎鼎的数独(标准数独)，这些分块被称为宫。数独还有一些变种：若数独的对角线包含X的所有元素，则称为半对角数独，同时，若它的反对角线也包含X的所有元素，则称为对角数独。那么

(1)请尝试用9个3阶幻方拼接出一种合法数独。

(2)可以用3阶半魔方拼接出一个半对角数独吗？若可以，请举出一个实例，如不可能，请说明为何。

(3)可以用3阶幻方拼接出一个对角数独吗？若可以，请举出一个实例，如不可能，请说明为何。

3.现在回到试验设计的话题，若将需要考察的指标的形式推而广之，我们要考察有3个影响因子的指标

，以及同时要考察

、

和

，若每个自变量参数选取皆有n个，穷举的话则需要

次试验，而实际上我们可以将其简化至只需

次，那么根据拉丁方的应用效果，我们则需要把拉丁方的概念进行推广：3维拉丁方指的是，一个方阵不只有行和列，还有高，且它的每行每列每高中的元素都是集合X(

)中的所有元素的一个排列，这种立体方阵我们称之为3维拉丁方，类似的，我们还可以通过添加更多的维度来定义高维拉丁方。

(1)为了能简化对上述指标的考察，则我们需要寻找到一个3维拉丁方，那么请给出一种构造3维拉丁方的方法。

(2)若我们还要添加考察指标

，那么请问此时如何使总试验次数简化为

。

(3)若我们需要考察有q个影响因子的指标

，和一个有s个影响因子的指标

，其中

，

，

，以及所有的

，请问如何使得试验次数简化至

？

4.设有

矩阵

和

矩阵

，其中

和

，那么按照矩阵环乘法的定义，它们是不能进行相乘的。现在我们就要“强行”让他们可以相乘，并且还要遵循矩阵环乘法原有的特征，对此我定义了两种不同的乘法来使得它们的相乘有意义：

(i)矩阵环乘法循环乘。定义上述矩阵相乘符合：

(ii)矩阵环乘法扩张乘。我们参考

中的加法，把未定义的位置皆赋值为0，对此我们可以用此方法将矩阵A和B的规格分别扩张为

和

，这样它们就可以按照常规的矩阵环乘法来相乘了。

那么请证明这两种乘法皆符合结合律，并且分别以这两种作为乘法的代数结构

都是环。

5.Markvo矩阵半群。设有一个全是由n阶Markvo矩阵构成的集合M，

为M通过矩阵环乘法

的生成集，请说明

为半群。

6.考虑有边界的一维随机游走，它的落足点为

，其中1和4为边界，且每一步不能在同一点停留，必须选择向左或向右行走一格，如遇边界则反方向行走一格。那么求起点在1行走10步后位置处于每一个点的概率。