此前在查找有关次正规列和幂零群的判定的资料时遇到过Frattini子群^[1](在本文中简称F子群), 后来找了一些关于这类子群的文献, 发现它具有很多有意思的性质, 将用几篇小文章列举一二. 我们假设读者理解抽象代数, 尤其是群论中的一些基本概念.

群

的所有真子群关于集合的包含关系

做成一个偏序集, 这个偏序集中的极大元称为

的极大子群.

它的等价定义是:

若由

能推出

, 则称群

是群

的极大子群.

一个群可能没有极大子群(如Prüfer群

^[2]), 也可能不止一个乃至无限个极大子群(如无限循环群); 本文统一用

表示子群关系, 用

表示真子群关系, 用

表示正规子群关系, 用

表示特征子群关系.

基于极大子群的概念我们给出F子群的定义:

群

的所有极大子群的交集是

的子群, 记为

, 称为

的F子群; 若

无极大子群, 则规定

, 也称为

的F子群.

这个定义与Jacobson根

^[3]的定义有相似之处, 以后写这方面的内容时会与本文有个类比.

设

是

的极大子群,

是

的自同构, 则

是

的极大子群.

如若不然, 则存在

使得

, 于是

矛盾.

, 即

, 有

.

不妨只考虑

有极大子群的情况, 设

的所有极大子群为

, 则对于任意

, 有

其中

, 于是可知

(实际上可以推出

, 在上面第三个等号用到了前面的引理9.3).

. 从而有限单群的F子群都是平凡群.

称

是群

的非生成元, 若对任意

满足

都有

.

是

中所有非生成元的集合.

我们只证明

有极大子群的情况, 以显示非生成元和极大子群的联系. 设

是

的所有非生成元的集合. 任取

和

的极大子群

, 显然有

从而

由

是极大子群, 可知

由于

和

是任意选取的, 可知

反过来, 若

, 则存在

使得

现在考虑集合

显然

不是空集(事实上

)而且关于

做成一个偏序集, 任取这个偏序集的一个(非空)全序子集

, 不难证明

中所有元素的并依然在

中(这个事实留给读者). 于是由佐恩引理, 可知

中有一个极大元

. 设

是真包含

的子群, 则

, 这个时候必然会有

且

, 于是

, 这就证明了

是极大子群. 此时我们得到: 对任意

都存在一个

的极大子群

使得

, 从而推出

. 于是

综上

.

实际上最初Giovanni Frattini就是用这个定理中的性质来定义F子群的

^[4]. 并且从这个定理可以大致了解一下F子群到底是由一些什么样的元素构成的.

设

是8阶二面体群, 则

.

题图即

的Hasse图(来源于

^[1]), 第二层中的子群就是极大子群, 第三层中间的子群就是F子群, 由上例,

除幺元外只有一个非生成元.

考虑有理数加法群

, 它有极大子群吗？求

, 并思考它蕴含的意义.

完善定理9.6的证明: 证明无极大子群的群中每一个元素都是非生成元.

(如有错误, 烦请指出)

参考

1. ^^abhttps://encyclopedia.thefreedictionary.com/Frattini+subgroup
2. ^https://encyclopedia.thefreedictionary.com/Pr%c3%bcfer+group
3. ^https://encyclopedia.thefreedictionary.com/Jacobson+radical
4. ^G. Frattini, Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni, Rom. Acc. L. Rend. (4) I. 281–285, 455–457, 1885.