证明不同特征值的实对称矩阵的特征向量相互正交的

设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵,m,n为其不同的特征值,p,q分别为其对应得特征向量.
　　则　　p^T(Aq)=p^T(nq)=np^Tq
　　　　　(p^TA)q=(p^TA^T)q=(AP)^Tq=(mp)^Tq=mp^Tq
　　因为　p^T(Aq)= (p^TA)q
　　上两式作差得：
　　　　　(m-n)p^Tq=0
　　由于m不等于n,　　所以p^Tq=0
　　即(p,q)=0,从而p,q正交.
说明：p^T表示p的转置,A^T表示A的转置,(Ap)^T表示Ap的转置

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