【机器学习】【线性代数 for PCA】矩阵与对角阵相似、 一般矩阵的相似对角化、实对称矩阵的相似对角化
Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化,用个文章复习一下相关概念和计算过程。
1.对角矩阵
如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个对角阵:
(1)是一个方阵
(2)只有对角线元素是非零元素
形状如:
2.数量矩阵
如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个数量矩阵:
(1)是一个方阵
(2)只有主对角线上元素是非零元素
(3)主对角线上元素都相等!
也就是:对角线元素都相等的对角矩阵是数量矩阵。
可知单位矩阵E是数量矩阵的特殊情况
3.正对角阵
只有正对角线上元素为非零值时,称为正对角阵,如下所示:
4.反对角阵
只有副对角线上元素为非零值时,称为反对角阵,如下所示:
5.线性相关、线性无关
在下面理解矩阵与对角阵相似的过程中,涉及到了线性无关,记录下。
线性相关:在一组数据中,有一个或者多个量可以被其余量表示
线性无关:在一组数据中,没有一个量可以被其余量表示
6.矩阵与对角阵相似的条件
如果一个矩阵A满足如下条件,则此矩阵就可以说是对角矩阵相似:
(1)A是一个方阵,因为对角阵是方阵
(2)矩阵A有n个线性无关的特征向量
如何用计算方阵A的特征值的方法来判断方阵A 是否与对角阵相似?
答,步骤如下:
(1)先求出方阵A的所有特征值
(2)如果所有特征值互异,则方阵与对角阵相似
即:如果n阶方阵A有n个互异的特征值,则方阵A与对角阵相似
7.一般矩阵的相似对角化
如果方阵A与对角阵相似,则一定存在一个可逆矩阵P,按照下面公式求出方阵A的相似对角矩阵:
求方阵A相似对角阵的步骤:
8.一般矩阵对角化的练习题
此例题来自:点我
9.实对称矩阵的相似对角化
方法:可以用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵
10.实对称矩阵的相似对角化的练习题
此例题来自:点我
11.协方差矩阵的相似对角化
因为协方差矩阵是实对称矩阵,所以协方差矩阵的对角阵求解方法 可以按照 实对称矩阵的对角阵求解方法来计算,如上所示。
(end)
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