实对称矩阵的性质_浅谈矩阵的相似对角化(一)
森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系zhuanlan.zhihu.com
通过前面的讨论,我们引出了线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,知道了线性变换在不同基下的矩阵是相似的,进而我们可以通过选取不同的基,使得线性变换在这组基下的矩阵的形式最简单,由于对角矩阵具有良好的性质,因此我们希望通过选取合适的基,使得线性变换在这组基下的矩阵是对角矩阵,这个问题等价于寻找一个可逆矩阵
设
其中
于是
设线性变换
则
故
即
因为
对上式移项并提公因式得
下面要证明不同特征值对应的特征向量是线性无关的:
设
由
由
令
因为
由于
同理,
综上
故
现在我们讨论怎样寻找可逆矩阵
即
假设我们已经找到可逆矩阵
将矩阵
则有
即
若
则有
即当n阶矩阵
反过来,若
假设
则线性变换
即
则有
故
综上,矩阵
由于我们之前证明了不同特征值对应的特征向量是线性无关的,因此若矩阵
在下一篇文章里面我们将讨论实对称矩阵的相似对角化问题以及二次型的标准化问题。
未完待续...
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