矩阵求逆引理（Matrix Inversion Lemma）的意义

矩阵求逆引理：
(Z+UWV)−1=Z−1−Z−1U(W−1+VZ−1U)−1VZ−1(Z+UWV)^{-1} = Z^{-1} - Z^{-1}U(W^{-1}+V Z^{-1}U)^{-1}V Z^{-1} (Z+UWV)−1=Z−1−Z−1U(W−1+VZ−1U)−1VZ−1

你可能知道这个定理是用来加速计算的，但你知道怎么用这个定理吗？什么时候可以用？

下面来解释一下这个定理的应用场景：

Z∈Rn×nZ\in R^{n\times n}Z∈Rn×n, 我们需要对ZZZ求逆，计算Z−1Z^{-1}Z−1. 计算复杂度为 O(n3)O(n^3)O(n3).

假设我们计算好了 Z−1Z^{-1}Z−1，然后发现 ZZZ 受到了扰动变成了 Z^=Z+E\hat{Z}= Z+EZ^=Z+E，需要做什么修正呢？

如果直接计算 Z^−1\hat{Z}^{-1}Z^−1，再花费O(n3)O(n^3)O(n3)的计算量，未免有点浪费，因为之前的计算结果Z−1Z^{-1}Z−1完全没有用到，有什么办法用到已有的计算结果Z−1Z^{-1}Z−1来加速求解Z^−1\hat{Z}^{-1}Z^−1呢？

这就用到了逆矩阵引理！

假设扰动是低秩矩阵，即可分解成
E=UWVE=UWV E=UWV其中 U∈Rn×m,W∈Rm×m,V∈Rm×n,m<<nU\in R^{n\times m}, W \in R^{m \times m}, V\in R^{m \times n}, m<< nU∈Rn×m,W∈Rm×m,V∈Rm×n,m<<n，且 WWW 可逆。例如奇异值分解。

接下来利用矩阵求逆引理，就可快速求解 Z^−1\hat{Z}^{-1}Z^−1 了，看看等式右端的计算复杂度，只需要计算 mmm 阶矩阵的逆和几个矩阵乘法即可，矩阵乘法是可以并行加速的，因此计算时间大大减少！

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