L - 拉普拉斯变换

文章目录

L - 拉普拉斯变换
- 一、拉普拉斯变换的定义
- - 1. 单边拉普拉斯变换
  - 2. 双边拉普拉斯变换
  - 3. 拉普拉斯变换的收敛域
  - s 域稳定条件
- 二、极零图
- 三、全通系统与最小相位系统
- - 全通系统
  - 最小相位系统
  - 全通系统与最小相位系统
- 四、初值定理和终值定理的限制
- 五、收敛域
- 六、信号流图
- 细节
- - 1. 单边拉普拉斯的时移变换，只移动因果部分
  - 2. 时域下，s 域 ROC 的快速判断

一、拉普拉斯变换的定义

s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω ，当 σ = 0 \sigma=0 σ=0 时，拉普拉斯变换退化成傅里叶变换（注意收敛域是否包含 σ = 0 \sigma=0 σ=0）

σ > 0 \sigma>0 σ>0 时，说明函数增长过快，需要 σ \sigma σ 把它衰减回来； σ < 0 \sigma<0 σ<0 时，说明函数衰减过快，需要 σ \sigma σ 把它增加回来

s s s 为共轭复数时，表明时域波形是震荡的

1. 单边拉普拉斯变换

F ( s ) = ∫ 0 − + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\int_{0^-}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=∫0−+∞f(t)e−stdt

f ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ F ( s ) e s t d s , t > 0 − f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds, \quad t>0^- f(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds,t>0−

2. 双边拉普拉斯变换

F ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdt

f ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ F ( s ) e s t d s f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds f(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds

3. 拉普拉斯变换的收敛域

【注】 收敛域 - ROC - Region of Convergence

拉普拉斯变换存在的条件：
∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) e − s t ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{+\infty}\left| f(t)e^{-st} \right|dt<\infty ∫−∞+∞∣∣f(t)e−st∣∣dt<∞
对于单边拉普拉斯变换：
lim ⁡ t → ∞ f ( t ) e − σ t = 0 \lim_{t\to\infty}f(t)e^{-\sigma t}=0 t→∞limf(t)e−σt=0

s 域稳定条件

稳定系统： H ( s ) H(s) H(s) 所有极点全部位于左半 s 平面（此时 h ( t ) h(t) h(t) 呈衰减形式）
临界稳定系统： H ( s ) H(s) H(s) 在 j ω j\omega jω 上存在 一阶极点 ，其余极点在左半 s 平面（此时 h ( t ) h(t) h(t) 呈等幅振荡或趋于常数）
不稳定系统： H ( s ) H(s) H(s) 在 j ω j\omega jω 上存在二阶极点或右半 s 平面存在极点（此时 h ( t ) h(t) h(t) 呈增长形式）

二、极零图

系统函数
H ( s ) ∣ s = j ω = K ∏ r = 1 m ( j ω − z r ) ∏ k = 1 n ( j ω − p k ) \left. H(s) \right|_{s=j\omega}=K\frac{\prod_{r=1}^{m}(j\omega-z_r)}{\prod_{k=1}^{n}(j\omega-p_k)} H(s)∣s=jω=K∏k=1n(jω−pk)∏r=1m(jω−zr)
其极点用 × \times × 表示，零点用〇〇〇表示

对于系统的 幅频响应 ∣ H ( s ) ∣ \left| H(s) \right| ∣H(s)∣ 其值为：

ω \omega ω 从 − ∞ -\infty −∞ 到 + ∞ +\infty +∞ 不断变化时，该点到零点距离的乘积 ÷ \div ÷ 该点到极点距离的乘积

对于系统的 相频响应 ∠ H ( s ) \angle H(s) ∠H(s) 其值为：

ω \omega ω 从 − ∞ -\infty −∞ 到 + ∞ +\infty +∞ 不断变化时，该点与零点连线的夹角的和 ÷ \div ÷ 该点与极点连线的夹角的和（取小于180°的角度）

计算时注意系数 K 别丢了

三、全通系统与最小相位系统

全通系统

全通系统的全部极点位于左半 s 平面
全通系统的全部零点位于右半 s 平面
零极点关于 j ω j\omega jω 轴对称

由此可以得到，全通系统的 幅频特性 为常数，也是因为这个所以叫全通系统

最小相位系统

零点全部位于 左半平面（含 j ω j\omega jω 轴）

此时可以得到 ω \omega ω 从 − ∞ -\infty −∞ 到 + ∞ +\infty +∞ 不断变化时，系统的相移最小

全通系统与最小相位系统

一个非最小相位系统，可以用最小相位系统和全通系统级联来代替

【注】 级联等于系统函数相乘

四、初值定理和终值定理的限制

初值定理需要化成真分式，然后只对分式求极限，无视掉真分式化出来的部分（那个是 0 时刻的冲激分量）

终值定理在应用前需要先判断 f ( t ) f(t) f(t) 终值存在：

极点全在左半 s 平面
虚轴上至多只有一个一阶极点

五、收敛域

首先注意，收敛域里面不含极点

不同收敛域下，双边拉普拉斯变换对应不同的时域信号；而单边一一对应（都是 u ( t ) u(t) u(t)）

例如：
F ( s ) = 1 s + 1 + 1 s + 2 F(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+2} F(s)=s+11+s+21

极点为 -1 和 -2 ，所以初步划分出三个收敛域： ( − ∞ , − 2 ) , ( − 2 , − 1 ) , ( − 1 , + ∞ ) (-\infty,-2),(-2,-1),(-1,+\infty) (−∞,−2),(−2,−1),(−1,+∞)

ROC为 σ > 1 \sigma>1 σ>1 时， f ( t ) = e − t u ( t ) + e − 2 t u ( t ) f(t)=e^{-t}u(t)+e^{-2t}u(t) f(t)=e−tu(t)+e−2tu(t)

ROC为 σ ∈ ( − 2 , − 1 ) \sigma \in (-2,-1) σ∈(−2,−1) 时， f ( t ) = − e − t u ( − t ) + e − 2 t u ( t ) f(t)=-e^{-t}u(-t)+e^{-2t}u(t) f(t)=−e−tu(−t)+e−2tu(t)

ROC为 σ < − 2 \sigma<-2 σ<−2 时， f ( t ) = − e − t u ( t ) − e − 2 t u ( − t ) f(t)=-e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(-t) f(t)=−e−tu(t)−e−2tu(−t)

六、信号流图

细节

1. 单边拉普拉斯的时移变换，只移动因果部分

例如：求 f ( t ) = ( t + 1 ) u ( t + 1 ) f(t)=(t+1)u(t+1) f(t)=(t+1)u(t+1) 的单边拉普拉斯变换

由于 [ − 1 , 0 ] [-1,0] [−1,0] 的部分是 t < 0 t<0 t<0 的部分，所以是非因果的（而单边拉普拉斯变换是从 0 − 0^- 0− 开始积分的），所以 f ( t ) f(t) f(t) 实际上应为
f ( t ) = ( t + 1 ) u ( t ) = t u ( t ) + u ( t ) ↔ 1 s 2 + 1 s f(t)=(t+1)u(t)=tu(t)+u(t) \leftrightarrow \frac1{s^2} + \frac1s f(t)=(t+1)u(t)=tu(t)+u(t)↔s21+s1

2. 时域下，s 域 ROC 的快速判断

例如：求 f ( t ) = t 2 u ( t ) f(t)=t^2u(t) f(t)=t2u(t) 的拉普拉斯变换收敛域

因为是 u ( t ) u(t) u(t) ，即因果信号，所以收敛域是右半平面

拉普拉斯变换的初衷是因为一些信号增长或衰减过快，所以人为的乘以 e − σ t e^{-\sigma t} e−σt 使其符合绝对可积条件；但是诸如 t 2 t^2 t2 这样的函数，跟 > e − σ t e^{-\sigma t} e−σt 完全不是一个数量级的，所以不会对收敛域产生影响

综上，收敛域为 σ > 0 \sigma>0 σ>0