拉普拉斯变换的定义-笔记

引入傅里叶变换——需要满足的条件：

1.迪利克雷Dirichlet条件

2.绝对可积

3.f(t)在(-∞，+∞)有意义

实际问题中，对于2，u(t)[单位阶跃函数],sinwt,coswt不是绝对可积的；对于3，往往在t<0时无意义或不需要考虑。

因此，要使f(t)绝对可积，它就要呈现一种衰减式的变化——利用指数衰减函数达到这种变化

g(t)={0, t<0 f(t)·g(t) 当β取合适值时，绝对可积。

{e^(-βt） t≥0

有意义——单位阶跃函数

u(t)={1，t>0 f(t)·u(t)={f(t)，t>0

{0, t<0 {0, t<0

从而，f(t)·e^(-βt)·u(t)的傅里叶变换存在，

令β+jw=s，

即拉普拉斯变换（Laplace-变换）

1.定义

设f(t)在t≥0时有定义，且（s=β+jw），在复平面s的某个邻域内收敛，则称其为f(t)的拉普拉斯变换，记作F(s)=L[f(t)]=，称F(s)是f(t)的象函数，而f(t)为象原函数。

注：L[f(t)]=F[] s=β+jw

2.存在条件

若f(t)满足下列条件：①在t≥0的任一有限区间上连续或分段连续

②t→+∞时，f(t)增长速度不超过某一指数函数，即 $\exists$ M>0,c≥0，使（0≤t<+∞）

则f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]=F(s)=在Re(s)>c上一定存在；右端积分在Re(s)≥c1>c上绝对收敛且一致收敛，并且在Re(s)>c的半平面内F(s)为解析函数。

必记：L[u(t)] = L[1] = $\frac{1}{s}$ (Re(s)>0)

L[ $e^{kt}$ ] = $\frac{1}{s-k}$ (Re(s)>k)

L[sinkt] = $\frac{k}{s^{2}+k^{2}}$ (Re(s)>0)

L[coskt] = $\frac{s}{s^{2}+k^{2}}$ (Re(s)>0)

L[ $t^{m}$ ] = $\frac{m!}{s^{m+1}}$ (Re(s)>0)

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