米勒拉宾算法（素性测试）

米勒拉宾素性测试

对于一个数n，如果想要判断它是否为素数，常规的方法为试除法。即，让n依次除以2到sqrt（n）以内的整数。如果有出现除尽的情况，则为合数。
该方法的时间复杂度为O（sqrt（n））在面对n为长整型的时候有可能超出时间要求。

因此普遍采用米勒拉宾算法进行素性判定。在此之前介绍一种伪素数判定方法——小费马定理。
小费马定理为：若有素数p，则对任意的数a( a为正整数，且a < p)，ap−1≡1(moda^{p-1 } ≡ 1( modap−1≡1(mod p)mp )mp)m 。反之，若有任意的a( a为正整数，且a < p)使得p不满足 ap−1≡1(moda^{p-1} ≡ 1( modap−1≡1(mod p)p )p) ，p一定为合数。
可以发现若是能够举出所有的a，都能满足上式，是不是就说明p是素数呢？其实不是因为有一类合数也可以做到这一点，这一类合数叫做 Carmichael 数。前三个这样的数是561 ，1105，1729。
这样的数真让人不爽。所以采用这种方法测出来的所谓素数是不一定的。叫做伪素数。哪怕你枚举出所有的a，也不可避免。

在小费马定理的基础上有人设计出米勒拉宾随机素数测试法。可以大大的提高检测素数的正确性，但是同样并非一定正确，错误可能性却小到可以接受。

该方法同样利用了枚举多个a的做法，以提高算法的可靠性，对于每一个a，又采用了特殊的方法处理。这基于另外一个定理：如果p是素数，x是小于p的正整数，且x2modx^2 modx2mod p=1p = 1p=1，那么要么x=1x=1x=1，要么x=p−1x=p-1x=p−1。该定理证明如下：如果p为素数，x是小于p的正整数，且x2modx^2 modx2mod p=1p = 1p=1 ，说明p能够整除（x+1）（x−1）（x+1）（x-1）（x+1）（x−1）。但是p是素数，那么只可能是x−1x-1x−1能被ppp整除(此时x=1x=1x=1)或x+1x+1x+1q能被ppp整除(此时 x=p−1x=p-1x=p−1)。

判断一个数是不是素数光靠上面的方法是不可靠的，因为p如果是合数的话，也有可能有x2≡1mod(p)x^2 ≡ 1 mod(p)x2≡1mod(p) 且 x=1x=1x=1或者 x=p−1x =p-1x=p−1；但是多排除几次p不为合数的话，就增大了p是素数的可能性，这是这个算法的核心思想。
因此例如341这个数。可知 (2340)≡1(mod( 2^{340} ) ≡ 1 (mod(2340)≡1(mod 340)340 )340); (2170)≡1(mod(2^{170})≡1(mod(2170)≡1(mod 340)340)340)；但是发现 285mod2^{85} mod285mod 341=32341=32341=32。这足以证明341是一个合数，而不是一个素数。

首先判断要判断的数n是不是2，在判断n是不是奇数。然后尽可能的在令d=n−1d=n-1d=n−1，在ddd中除去2，使得n=d∗(2t)n=d*(2^t)n=d∗(2t),d为奇数，t的值并不关心。如果n是一个素数，那么或者admoda^d modadmod n=1n=1n=1，或者存在某个i使得ad∗2imoda^{d*2^i} modad∗2imod n=n−1(0<=i<r)n=n-1(0<=i<r )n=n−1(0<=i<r)（注意i可以等于0，这就把admoda^d modadmod n=n−1n=n-1n=n−1的情况统一到后面去了）。

求admod(n)a^d mod(n)admod(n)的算法以及求d2d^2d2的算法是采用的快速幂取模算法。但是在d为long long的情况下有可能乘法溢出。有更加优秀的算法存在。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;LL mulmod( LL a, LL b , LL p )
{LL  d =1;a = a%p;while( b>0 ){if(b&1)d = (d*a)%p;a = (a*a)%p;b>>=1;}return d;
}bool witness( LL a,LL n)
{LL d = n-1 ;if( n ==2 ) return true ;if( !(n&1) ) return false ;while(!(d&1)) d = d/2;LL t = mulmod(a,d,n);while((d!=n-1) && (t!=1)&&(t!=n-1)){t = mulmod( t ,2,n);d=d<<1;}return (t==n-1)||(d&1);
}bool isprime( LL n)
{int a[3] = {2,7,61};for(int i=0;i<3;i++)if(!witness(a[i],n))return false;return true;
}
int main()
{LL s;cin>>s;if(isprime(s))cout<<"YES";elsecout<<"NO";return 0;
}

转自：https://blog.csdn.net/qq_37957829/article/details/77335072

米勒拉宾算法（素性测试）相关推荐

米勒-拉宾(MillerRabbin)素性测试算法
原创滴博客~https://www.cnblogs.com/precious-ZPF/p/9481599.html 小编赶紧摘过来的,多看几遍向银家多学习学习QAQ 首先,在了解米勒-拉宾素性测试之前 ...
C++米勒拉宾算法模板
//我也忘了从哪找来的板子,不过对于2^63级的数据请考虑使用java内置的米勒拉宾算法. 1 #include <iostream> 2 #include <string> ...
你知道如何判定一个大整数为素数吗？——米勒拉宾素数判定算法
米勒拉宾算法的基本概念如下: 首先判断这个数n的奇偶性若为偶数仅有2是质数奇数则进入测试测试方法: 首先确定几个基底a,范围在[2,n-1] 因为n是奇数,所以n-1必定为偶数则n-1可以表示 ...
数论判断素数：普通素数判别线性筛二次筛法求素数米勒拉宾素数检验
普通的素数判断法当我们要判断一个数字是否是素数的时候,往往会直接看这个数字模1到这个数字的根号,看有没有等于零的,从而判断这个数字是不是素数,这样做的时间复杂度为O(sqrt(n)) bool is ...
费马素性测试和米勒—拉宾素性测试
chapter 1 Fermat's little theorem 费马小定理费马小定理说的是:如果p是一个素数,那么对于任意一个整数a,a p − a 能被p整除,也可以用模运算表示如下: (p是 ...
【学习笔记】Miller-Rabin(米勒-拉宾)素性测试，附常用表
@TOC 素性测试是检验一个给定的整数是否为素数的测试. 最简单的就是用 n\sqrt{n}n 以内的数去试除.这是确定性的算法,即能准确知道 nnn 是否为质数. 但今天学习的是一种随机算法. F ...
米勒-拉宾素性检测算法
米勒-拉宾素性检测就是目前应用比较广的一种随机化素性检测算法. 它是基于下面两个定理: (费马小定理)如果 p 为素数,且 a 无法被 p 整除,则对于所有大于0小于 p 的整数 a,有 ap−1≡1 ...
C++实现伪大素数生成算法（费马小定理判别法、米勒拉宾素数判定法）
提示:文章写完后,目录可以自动生成,如何生成可参考右边的帮助文档文章目录一.伪大素数生成原理方法一方法二数学基础二.费马小定理判别法 1.算法 2.代码实现 3.运行结果二.米勒拉宾素数 ...
2018宁夏网络赛 B Goldbach （米勒拉宾素数测试）
2018宁夏网络赛 B Goldbach (米勒拉宾素数测试) 题目链接题目大意: 给你一个偶数n (2<n<=1e18) 让你把n分解成两个素数的和.(如果有多个输出任意一个) 解题思 ...
算个欧拉函数给大家助助兴（米勒拉宾（判断素数）+Pollard_rho（求一个大数的因子））
这篇博客讲的很好: https://www.cnblogs.com/ZERO-/p/9302169.html 题目描述木南有一天学习了欧拉函数,知道了对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的 ...

米勒拉宾算法（素性测试）

米勒拉宾素性测试

米勒拉宾算法（素性测试）相关推荐

最新文章

热门文章