一、伪大素数生成原理

如何生成一个随机的大素数？

方法一

① 随机选取一个大奇数n
②将从2开始的m个素数（2000以内）排列成数组，作为工具a[i]
③令i=0，计算x=n%a[i]
④ 判断，若x=0，说明n显然是合数，回到步骤1。若不等于0，说明暂且可以认为n是素性的，进行步骤5。
⑤检测n%其他的a[i]．当i=m-1，则将n视为一个伪素数，然后作为素数生成部分的结果。

方法二

对一个大奇数进行素性检测，如果不是素数，重新生成一个大奇数并再次检验，直至找到一个极大概率为素数的大奇数，即为伪大素数。本文采取此种方法生成伪大素数，素性判定算法分别选用费马小定理判别法和米勒拉宾素数判定法。

数学基础

Fermat 定理： n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)。
Miller-Rabin算法是Fermat算法的一个变形改进，它的理论基础是由Fermat定理引申而来。
Miller-Rabin 算法的理论基础：

如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇数)，a是和n互素的任何整数，那么a^r ≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s －1， j∈Z) 等式 a^(2^j*r) ≡－1(mod n)成立。
这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x^2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。

即：

二、费马小定理判别法

1.算法

if 1≤a≤n-1都有 an ≡a (mod n) ,也就是 an-1 mod n = 1, 因此 n 是一个素数

2.代码实现

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>using namespace std;/*使用三个rand()生成伪随机数组合生成一个奇数随机数，作为伪素数
**系统时间为种子
**并返回生成的这个大奇数
*/
unsigned int ProduceRandomOdd(){//UINT无符号整形，各伪随机数放在RandomArray数组中 time_t t;//c++时间类型 unsigned int RandomNumber;//记录随机数 do{srand((unsigned)time(&t));//srand(seed)用于给rand()函数设定种子,此处用系统时间//生成 RandomNumber=(rand()<<17)|(rand()<<3)|(rand()); //cout<<RandomNumber<<endl;}while(RandomNumber%2==0||RandomNumber<100000000); //返回   return RandomNumber;
}long long qmod(int a, int b, int p) {long long res = 1;long long term = a%p;while(b) {if(b&1){res = (res*term)%p;}term = (term*term)%p;b >>= 1;}return res;
}bool Fermat_prime(long long n) {   int i;for(i = 0; i < 100; ++i) {if(qmod(1+rand()%(n-1),n-1, n) != 1)break;}if(i < 100)return false;else return true;
}int main(){unsigned int RandomOdd; bool flag;//直至找到过关的伪素数 do{RandomOdd=ProduceRandomOdd();//cout<<RandomOdd<<endl;flag=Fermat_prime(RandomOdd);}while(flag==false);//cout<<"=========================="<<endl;cout<<"生成的一个伪素数为：" <<RandomOdd;
}

3.运行结果

二、米勒拉宾素数判定法

1.算法

Miller-Rabin(n,t)
　　输入：一个大于3的奇整数n和一个大于等于1的安全参数t(用于确定测试轮数)。
　　输出：返回n是否是素数(概率意义上的，一般误判概率小于(1/2)80即可) 。
　1、将n-1表示成2sr，(其中 r是奇数)
　2、对i从1到 t 循环作下面的操作：
　　2.1选择一个随机整数a(2≤a ≤n-2)
　　2.2计算y ←ar mod n
　　2.3如果y≠1并且y ≠n-1作下面的操作,否则转3：
　　 2.3.1 j←1;
　　 2.3.2 当j≤s-1 并且y≠n-1循环作下面操作,否则跳到 2.3.3：
　　 {计算y ←y2 mod n;
　　如果 y=1返回合数；
　　否则 j←j+1; }
　　 2.3.3如果y ≠n-1 则返回合数；
　3、返回素数。

2.代码实现

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
//#include <cstddef.h>
using namespace std; /*使用三个rand()生成伪随机数组合生成一个奇数随机数，作为伪素数
**系统时间为种子
**并返回生成的这个大奇数
*/
unsigned int ProduceRandomOdd(){//UINT无符号整形，各伪随机数放在RandomArray数组中 time_t t;//c++时间类型 unsigned int RandomNumber;//记录随机数 do{srand((unsigned)time(&t));//srand(seed)用于给rand()函数设定种子,此处用系统时间//生成 RandomNumber=(rand()<<17)|(rand()<<3)|(rand()); //cout<<RandomNumber<<endl;}while(RandomNumber%2==0||RandomNumber<100000000); //返回   return RandomNumber;
}//模重复平方算法求(b^n)%m
size_t repeatMod(size_t base, size_t n, size_t mod){size_t a = 1;while(n){if(n&1){a=(a*base)%mod;}base=(base*base)%mod;n=n>>1;}return a;
}//Miller-Rabin素数检测
bool rabinmiller(size_t n, size_t k){int s=0;int temp=n-1;    //将n-1表示为(2^s)*t  while ((temp&0x1)==0&&temp){temp=temp>>1;s++;}   size_t t = temp;//判断k轮误判概率不大于(1/4)^kwhile(k--){srand((unsigned)time(0));size_t b = rand()%(n-2)+2; //生成一个b(2≤a ≤n-2)size_t y = repeatMod(b,t,n); if (y == 1 || y == (n-1))return true;for(int j = 1; j<=(s-1) && y != (n-1); ++j){y = repeatMod(y,2,n);if (y == 1)return false;}if (y != (n-1))return false;}return true;
}int main(){size_t k=80;//进行80轮测试 unsigned int RandomOdd; bool flag;//直至找到过关的伪素数 do{RandomOdd=ProduceRandomOdd();//cout<<RandomOdd<<endl;flag=rabinmiller(RandomOdd,k);}while(flag==false);//cout<<"=========================="<<endl;cout<<"生成的一个伪素数为：" <<RandomOdd;}

3.运行结果

三、不同算法特点及优劣比较

①Miller-Rabin算法是目前主流的基于概率的素数测试算法，在构建密码安全体系中占有重要的地位。
②通过比较各种素数测试算法和对Miller-Rabin算法进行的仔细研究，证明在计算机中构建密码安全体系时， Miller-Rabin算法是完成素数测试的最佳选择。
③通过对Miller-Rabin 算法底层运算的优化，可以取得较以往实现更好的性能，这也是费马素性测试再无用武之地的原因。

C++实现伪大素数生成算法（费马小定理判别法、米勒拉宾素数判定法）相关推荐

c语言生成两位随机素数算法,[算法]费马小定理求质数的算法之Miller-Rabin算法，C语言实现 | 李大仁博客...
今天讲点比较高级的算法,目的也很简单,求质数,但是应用一种新的算法Miller-Rabin算法,这是一种利用了概率和费马小定理的算法设计,有点玄乎吧,其实本人也是刚接触这种算法,这是一种纯数学的解法, ...
SICP：费马小定理与素数检测
原帖地址:http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2329 费马小定理关于费马小定理,读到注解的时候,还是有点震撼的. 皮埃尔•得•费马(1601 ...
费尔马小定理素数java_费马小定理，我的理解
原标题:费马小定理,我的理解触碰标题下面一行的"邵勇老师"查看所有文章:触碰"数学教学研究", 关注本微信公众号(sx100sy). 本公众号内容均由邵勇本人 ...
【ACM】杭电OJ 4704 Sum （隔板原理+组合数求和公式+费马小定理+快速幂）
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704 1.隔板原理 1~N有N个元素,每个元素代表一个1.分成K个数,即在(N-1)个空挡里放置(K-1)块隔板 ...
费马小定理看了等于没看证明
一开始我都不知道费马是个人,以为和胡不归问题起名方法一样,是个浪费马的小定理所以叫费马小定理内容若 p p p是质数,则对于任意整数 a a a,有 a p ≡ a^p \equiv ap≡ a ...
关于素数常用结论--威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、米勒罗宾算法
再需要判定的数比较大时,用枚举法肯定不行的,但目前数学界也没有任何一种又快又准确的判定素数的方法,并且也证明了素数不存在任何一种通项表达式.但作为初等数论中最大的一部分内容,数学家们对素数性质进行了大 ...
你知道如何判定一个大整数为素数吗？——米勒拉宾素数判定算法
米勒拉宾算法的基本概念如下: 首先判断这个数n的奇偶性若为偶数仅有2是质数奇数则进入测试测试方法: 首先确定几个基底a,范围在[2,n-1] 因为n是奇数,所以n-1必定为偶数则n-1可以表示 ...
费马小定理素数判定蒙哥马利算法
转自:http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/04/1559949.html 约定: x%y为x取模y,即x除以y所得的余数,当x<y时,x%y ...
费马小定理素性判断蒙哥马利算法
转载于http://blog.csdn.net/arvonzhang/article/details/8564836 1.约定 x%y为x取模y,即x除以y所得的余数,当x<y时,x%y=x,所 ...

C++实现伪大素数生成算法（费马小定理判别法、米勒拉宾素数判定法）

文章目录

一、伪大素数生成原理

方法一

方法二

数学基础

二、费马小定理判别法

1.算法

2.代码实现

3.运行结果

二、米勒拉宾素数判定法

1.算法

2.代码实现

3.运行结果

三、不同算法特点及优劣比较

C++实现伪大素数生成算法（费马小定理判别法、米勒拉宾素数判定法）相关推荐

最新文章

热门文章