数论判断素数：普通素数判别线性筛二次筛法求素数米勒拉宾素数检验

普通的素数判断法
当我们要判断一个数字是否是素数的时候，往往会直接看这个数字模1到这个数字的根号，看有没有等于零的，从而判断这个数字是不是素数，这样做的时间复杂度为O（sqrt(n)）

bool isPrime(int num)
{if(num <= 1)return false;for(int i = 2; i * i <= num; ++i){if(num % i == 0)return false;}return true;
}

线性筛法求素数
线性筛法，时间复杂度为O（n）
原理在这里：https://blog.csdn.net/bjrxyz/article/details/8125913

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 2e5 + 5;
ll prime[maxn];
ll cnt = 0;
bool not_prime[maxn] = {1, 1};//0 和 1不是素数
void init()
{for(ll i = 2; i < maxn; ++i){if(!not_prime[i])prime[cnt++] = i;for(ll j = 0; j < cnt && i * prime[j] < n; ++j){not_prime[i * prime[j]] = 1;if(!(i % prime[j]))break;}}
}
int main()
{init();return 0;
}

二次筛法求素数[L，R]
当我们的素数很大很大，但区间跨度不大时。

bool Prime[50010];      //存50000内素数判断结果
int Primer[1000010];    //存放区间[L,R]之间的素数
bool Prime1[1000010];   //判断区间[L,R]中的数是否为素数
int IsPrime()//第一次筛50000内的素数
{int num = 0;for(int i = 2; i <= 50000; i++)Prime[i] = true;for(int i = 2; i <= 50000; i++){if(Prime[i]){Primer[num++] = i;for(int j = i+i; j <= 50000; j+=i)Prime[j] = false;}}return num;     //num为50000范围内的素数个数
}
int IsPrime2(__int64 a,__int64 b)
/*
在第一次筛素数的基础上，利用50000以内的素数，筛去范围【a,b】之间的素数倍数，
剩下则为素数
*/
{int num = IsPrime();memset(Prime1,true,sizeof(Prime1));//Prime1数组用来存放范围【a,b】的素性判断if(a == 1)  //这里注意1不是素数Prime1[0] = 0; //这里表示0+1不为素数for(__int64 i = 0; i < num && Primer[i] * Primer[i] <= b; i++){__int64 begin = a/Primer[i] + (a%Primer[i] != 0);//上边的a/Primer算出应a为素数Primer[i]的多少倍//(a%Primer[i]!=0)表示应从Primer[i]的a/Primer[i]倍开始筛，还是a/Primer[i]+1倍筛if(begin == 1)//若得出结果为所被筛素数的1倍，则从该素数的2倍开始筛begin++;for(begin = begin*Primer[i]; begin <= b; begin += Primer[i])Prime1[begin - a] = false;}//这里重新利用Primer数组，用来存放区间【a,b】间的素数，num为素数个数memset(Primer,0,sizeof(Primer));num = 0;for(__int64 i = a; i <= b; i++)if(Prime1[i-a]==1)Primer[num++] = i-a;return num;     //num为区间[a,b]的素数个数
}

米勒拉宾素性检验
如果区间跨度很大，例如在1e14到1e18，用筛法求素数时数组开不了那么大。
所以我们改用米勒拉宾算法对素数进行检验。米勒拉宾素性测试算法是概率算法，不是确定算法。但是判断错误的概率非常非常小，速度又很快。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
using namespace std;
bool Miller_Rabin(long long n)
{if(n < 2)return false;else if(n == 2)return true;long long q = 0, m = n - 1;while(m % 2 == 0) {   //当m为偶数时m >>= 1;//除2++q;   //计数}long long a = rand()%(n - 2) + 2;long long x1 = (long long)pow(a, m) % n, x2;for(int i = 1; i <= q; ++i) {x2 = (x1 * x1) % n;if(x2 == 1 && x1 != 1 && x1 != n - 1)return false;x1 = x2;}if(x2 != 1)return false;elsereturn true;
}
int main(void)
{srand((unsigned)time(NULL));long long num;while(cin >> num) {if(num > 1) {if(Miller_Rabin(num))cout << "true" << endl;elsecout << "false" << endl;}}return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL mulmod( LL a, LL b , LL p )
{LL  d = 1;a = a % p;while( b > 0 ){if(b & 1)d = (d * a) % p;a = (a * a) % p;b >>= 1;}return d;
}
bool witness( LL a,LL n)
{LL d = n - 1 ;if( n == 2 )return true ;if( !(n & 1) ) return false ;while(!(d & 1)) d = d / 2;LL t = mulmod(a, d, n);while((d != n - 1) && (t != 1) && (t != n - 1)){t = mulmod( t, 2, n);d = d << 1;}return (t == n - 1) || (d & 1);
}
bool isprime( LL n)
{int a[3] = {2, 7, 61};for(int i = 0; i < 3; i++)if(!witness(a[i], n))return false;return true;
}
int main()
{LL s;cin >> s;if(isprime(s))cout << "YES";elsecout << "NO";return 0;
}

参考来源

博客
https://blog.csdn.net/lianai911/article/details/45056957
博客
https://blog.csdn.net/bjrxyz/article/details/8125913
博客
https://www.cnblogs.com/KyleDeng/p/9244850.html