【LeetCode每周算法】零钱兑换

题目来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1
示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

分析

一些分析内容，借鉴自博客：https://juejin.cn/post/6985150114134229022

怎么感觉像是回到了小学应用题？

1、暴力穷举逐个排除

简单分析一下：最小硬币组合 -> 尽量用大的硬币

这傻不拉几的题谁出的，这么简单

7+7+7=21,21+2+2+2=27， 6枚硬币

卧槽

7+5+5+5+5=27， 5枚硬币

我们可以很暴力的想一想，从大往小的算，可以加起来不超过27，比如

7+7+7+7 > 27 (排除）

7+7+7+5 或者 7 +7 +7+2+2+2 6枚

....

穷举太慢了，还会涉及到很多的重复计算，如果我想要27以内的任何值最小的硬币组合呢，想想都头大了吧。

既然计算机可以通过内存保存之前的内容，又快，很明显，我们开一个数组来保存之前的状态。

2.动态规划分析

虽然我们不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是K枚硬币，a1, a2, ....ak面值加起来是27

所以一定有一枚最后的硬币:ak. 除掉这么硬币，前面硬币的面值加起来是27-ak

关键点1：

我们不关心前面的k-1枚硬币是怎么拼出27-ak的（可能有一种拼法，也可能有100种拼法），而且我们现在甚至还不知道ak和K, 但是我们确定前面的硬币拼出了27-ak

关键点2：

因为是最优策略，所以拼出27-ak的硬币数一定要最少，否则这就不是最优策略了

子问题

所以我们就要求：最少用多少枚硬币可以拼出27-ak
原问题是最少用多少枚硬币拼出27
我们将原问题转化了一个子问题，而且规模更小：27-ak
为了简化定义，我们设状态f(x）=最少用多少枚硬币拼出x

等等，我们还不知道最后的那枚硬币ak是多少

很明显，最后的那枚硬币只能是2,5或者7
如果ak是2， f(27)应该是f(27-2)+1(1代表最后一枚硬币2）
如果ak是5， f(27)应该是f(27-5)+1(1代表最后一枚硬币5）
如果ak是7， f(27)应该是f(27-7)+1(1代表最后一枚硬币7）

所以使用最少的硬币数=f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}

2.1递归解法

    private static Map<Integer, Integer> cache = new HashMap<>();static {// 退出条件cache.put(2, 1);cache.put(3, -1);cache.put(4, 2);cache.put(5, 1);cache.put(6, 3);cache.put(7, 1);}// 2,5,7三种硬币public static int minCoin(int target) {if (target < 2) {return -1;}Integer integer = cache.get(target);if (integer != null) {return integer;}//        if (target == 2) {
//            return 1;
//        }
//        if (target == 3) {
//            return -1;
//        }
//        if (target == 4) {
//            return 2;
//        }
//        if (target == 5) {
//            return 1;
//        }
//        if (target == 6) {
//            return 3;
//        }
//        if (target == 7) {
//            return 1;
//        }int[] result = {minCoin(target - 2) + 1,minCoin(target - 5) + 1,minCoin(target - 7) + 1};int min = min(result);cache.put(target, min);return min;}public static int min(int[] valArr) {if (valArr == null || valArr.length < 1) {return Integer.MIN_VALUE;}int val = Integer.MIN_VALUE;for (int i : valArr) {if (i > 0) {val = val > 0 ? Math.min(val, i) : i;}}return val;}

2.2动态规划

转移方程：

设状态f(x)=最少用多少枚硬币拼出x
对于任意的x : f(X) = min{f(X-2)+1, f(X-5)+1, f(X-7)+1}

初始条件和边界情况：

提出问题
- x-2, x-5, x-7 小于0怎么办？
- 什么时候停下来？

如果不能拼出Y, 就定义f[Y] = 正无穷

例如f[-1], f[-2] = 正无穷

例如：拼不出f[1]=min{f(-1)+1, f(-3)+1, f(-6)+1}

初始条件：f[0] = 0

计算顺序

计算：f[1], f[2], ... f[27]

当我们计算到f[x], f[x-2], f[x-5], f[x-7] 都已经得到结果了。如图：

上图7只需要一个硬币。

f[x] = 最少用多少枚硬币拼出x

f[x] = ∞ 表示无法用硬币拼出x

public  static  int coinChange(int [] A, int M ) {int[] f = new int[M+1];int n = A.length;f[0] = 0;int i,j;for (i = 1; i<=M; i++) {f[i] = Integer.MAX_VALUE;for (j = 0; j< n;j++) {// 边界条件判断if (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE) {f[i] = Math.min(f[i - A[j]] + 1, f[i]);//  System.out.println(i + "=" +f[i]);}}}if (f[M] == Integer.MAX_VALUE) {f[M] = -1 ;}return  f[M];
}

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