动态规划——零钱兑换(Leetcode 322)

题目选自Leetcode 322.零钱兑换

想必大家看一眼就明白了(bushi)，这就是动态规划的背包问题~

算法思想

那么，既然知道了这是个动态规划问题，就要思考如何列出正确的状态转移方程？

1、确定 base case，这个很简单，显然目标金额 amount 为 0 时算法返回 0，因为不需要任何硬币就已经凑出目标金额了。

2、确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。由于硬币数量无限，硬币的面额也是题目给定的，只有目标金额会不断地向 base case 靠近，所以唯一的「状态」就是目标金额 amount。

3、确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。目标金额为什么变化呢，因为你在选择硬币，你每选择一枚硬币，就相当于减少了目标金额。所以说所有硬币的面值，就是你的「选择」。

4、明确 dp 函数/数组的定义。我们这里讲的是自顶向下的解法，所以会有一个递归的 dp 函数，一般来说函数的参数就是状态转移中会变化的量，也就是上面说到的「状态」；函数的返回值就是题目要求我们计算的量。就本题来说，状态只有一个，即「目标金额」，题目要求我们计算凑出目标金额所需的最少硬币数量。所以我们可以这样定义 dp 函数：

dp(n) 的定义：输入一个目标金额 n，返回凑出目标金额 n 的最少硬币数量。

搞清楚上面这几个关键点，解法的伪码就可以写出来了：
// 伪码框架
int coinChange(int[] coins, int amount) {// 题目要求的最终结果是 dp(amount)return dp(coins, amount)
}// 定义：要凑出金额 n，至少要 dp(coins, n) 个硬币
int dp(int[] coins, int n) {// 做选择，选择需要硬币最少的那个结果for (int coin : coins) {res = min(res, 1 + dp(n - coin))}return res
}
dp 数组的定义：当目标金额为 i 时，至少需要 dp[i] 枚硬币凑出。

PS：为啥 dp 数组初始化为 amount + 1 呢，因为凑成 amount 金额的硬币数最多只可能等于 amount（全用 1 元面值的硬币），所以初始化为 amount + 1 就相当于初始化为正无穷，便于后续取最小值。为啥不直接初始化为 int 型的最大值 Integer.MAX_VALUE 呢？因为后面有 dp[i - coin] + 1，这就会导致整型溢出。

状态转移方程

解题代码：C++

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {int Max = amount + 1;vector<int> dp(amount + 1, Max);dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= amount; ++i) {for (int j = 0; j < (int)coins.size(); ++j) {if (coins[j] <= i) {dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);}}}return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];}
};

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