数学小故事之 数列极限|当“夹逼定理”爱上“定积分定义”
真真假假,假假真真
历史为骨,艺术为翼
上周,我们讲了求解数列极限的一个比较有难度的方法——夹逼定理,并讲了数列放缩的一个基本的技能“找到变化元素,把变化元素全部变成最大(小)元素,实现放大和缩小。”不知道你有没有发现,昨天的每个题目的通项中,变化元素实际上非常少,一般就是一个变化元素,而且还特别有规律,因此对于一个变化元素来说,直接使用放缩的基本原则一般就能搞定,但是,出题老头会就这样善罢甘休吗?当然不会。“变化元素只有一个?太简单了!上难度,我让它变化元素多一些,而且不光是分母变,分子也跟着变,看你怎么办,想考150,白日做梦!”
来看看昨天出的思考题第四题,其实我把这个题放在昨天,就是想让你思考这样的几个问题:放缩的基本技能它的局限性是什么?什么情况下这种放缩法将会失效?如果失效我们该怎么办?(一句非常中二的话形容:冒险越来越深入了~)
好了,题目来了,咱们先按照昨天讲过的方法,分析一下本题的变化元素和不变元素:
分子:sin三角函数,好像是个变化元素,特点是π前面的系数由1变化到n;分母n不变,但是n后面那一项发生了变化,它其实上是一个1/i的结构,小分子是1不变,小分母由1变化到n
分母的处理方法,我昨天已经讲过了,我们的目标就是通过放缩把分母变成一样的,这样的话,我们就可以对分式进行合并,那,咱们先操作一下呗~
这里有一个小技巧,因为本题分母的变化元素是一个分数,所以那句废话又来了:“分母越大,分数越小;分母越小,分数越大”,所以从1/1到1/n,最大的肯定是1/1,而最小的是1/n,根据基本原则:
下面我们要思考了,不等式右面是不是还是很麻烦?其实做数学做多了我们就会有一个大致感观:分数不如整数好处理,反三角函数,对数函数不如三角函数,幂函数好处理等等。尤其是这道题,本来就是分式,又套了一个分数,好麻烦啊,因此我进一步放大,反正只要分母变小就行了,那我把1/n整个去掉行不行?是不是这就相当于缩小分母了?(做放缩的思考过程就是这样,先有一个基本的套路,然后根据不同的题目再做微调,达到想要的结果),因此式子就变成了这样:
看着舒服多了吧,好了,夹逼定理!诶,等等,这个式子怎么没合并成一项啊,明明分母都一样了呀!
这题的特殊性就在于,即使你处理了分母,分子照样合不了并,因为三角函数这个函数比较排外,同类项必须完全一样才能合并,有一点不一样也不行,而分子同样是个变化元素,所以,额,不会做了,呜呜呜~~~
好,现在想想我们还有什么方法?诶,“提1/n”这招我还没用过,那我试试,看行不行?
先看放缩的右项,疑,天然就有1/n啊,有戏有戏!
再看剩下的部分能不能凑出i/n整体形式?好像也是现成的啊,赶紧试试!
得嘞,1/n,i/n全凑出来了,那接下来,定积分定义翻译表,一起背:“1/n和求和号翻译成积分上下限0~1,i/n翻译成x,最后添加dx”,那么立即推!
一边出来了,那么另一边呢?就复杂了,这里面没有n啊,只有n+1,怎么办?“没有条件,创造条件也要上!”不是没有n吗?强行让他有!
友情提示:插值法其实是一个做数学题时候的一个最底层技能,往往在没有条件需要创造条件时候使用,具体来说有“加一项减一项”“乘一项除一项”等。
剩下的不用说了吧,凑出来的部分极限是2/π,剩下的部分用抓大头法,很容易求出极限是1,因此,这道题目最后的答案就是2/π。
当夹逼定理遇上定积分定义时,二者会擦出什么样的火花呢?讲到这里以后,想必你已经知道了吧,那就是:夹逼定理主攻分母,定积分定义处理分子,二者相得益彰。
今天思考题的题目是:
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