数学基础

数学基础
- 序列
- 夹逼定理
- 重要极限
- 闭区间套定理
- 聚点原理
- 博尔扎诺 - 魏尔斯特拉斯定理
- 思考

序列

定义
是从N到R的一个函数
e.g.
当n在趋于无穷时，xn可以任意接近一个数l

n→+∞，xn→0
|xn| =1/n →0，n→+∞

2条线，1/x在上，1/2x在下，
已知|xn| =1/n →0，则|xn| ≤1/n →0，n→+∞

1.1 极限：

使用ε-N语言描述极限
{xn},∃l,∀ε＞0 ∃ N,∀n ＞ N,|xn - l|＜ε
使用ε-N语言描述发散序列
{xn},∀l ∃ ε＞0 ∀N ∃N,∃n ＞ N,|xn - l|≥ε

1.2 序列极限的几何意义

当n≤N时，点在邻域中呈发散状
当n>N时，点会落在l-ε、l、l+ε的区间里

1.3 序列极限的性质

 1.3.1   唯一性1.3.2    有界性1.3.3    保序性1.3.4    四则运算1.3.5   子序列收敛an→a(n→∞),则ank（子序列）→(n→∞)1.3.6   单调收敛原理单调有界的实数序列一定有极限

夹逼定理

1.   定义函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X

e.g.

重要极限

1.1 两个重要极限

1.2 无穷小量

小欧是不断趋向于0的变量

补充：阶乘比指数增长快

1.3 无穷大量

1.4 无穷小量和无穷大量的阶

补充：一组重要的阶
lnn(对数)＜na（幂）＜an（指数）＜a!（阶乘）＜nn（次方）

闭区间套定理

聚点原理

R中任何一个有界无穷子集至少有一个聚点（Xo）

博尔扎诺 - 魏尔斯特拉斯定理

1.任何一个有界的序列必然存在收敛的子列
2.并且收敛子列收敛到的值一定是原序列的聚点

思考

1.许多方法提到的公式没有印象，需要花时间补充

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2020-12-21 数学基础 -- 序列极限（夹逼定理、重要极限、聚点原理）

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