背景

sin(x)/xsin(x) / xsin(x)/x的极限在很多情况下都要用到，近日突然开始思考该极限的证明过程。
首先不能用洛必达法则，因为sin(x)sin(x)sin(x)的导函数就是根据这个极限算出来的。
今可用夹逼定理证明之。

证明过程

考虑如下单位圆：

△OAB\triangle{OAB}△OAB的面积可以表示为:
S△OAB=12⋅OA⋅BM=12⋅∣sin⁡θ∣S_{\triangle{OAB}} = \frac{1}{2}\cdot{OA}\cdot{BM}=\frac{1}{2}\cdot|{\sin{\theta}}|S△OAB=21⋅OA⋅BM=21⋅∣sinθ∣
扇形OABOABOAB的面积可以表示为：
S扇形OAB=12⋅OA⋅弧AB=12⋅∣θ∣S_{扇形{OAB}} = \frac{1}{2}\cdot{OA}\cdot弧{AB}=\frac{1}{2}\cdot|\theta|S扇形OAB=21⋅OA⋅弧AB=21⋅∣θ∣
△OAC\triangle{OAC}△OAC的面积可以表示为:
S△OAC=12⋅OA⋅AC=12⋅∣tan⁡θ∣S_{\triangle{OAC}} = \frac{1}{2}\cdot{OA}\cdot{AC}=\frac{1}{2}\cdot{|\tan{\theta}}|S△OAC=21⋅OA⋅AC=21⋅∣tanθ∣
可以看出S△OAB≤S扇形OAB≤S△OACS_{\triangle{OAB}} \leq S_{扇形{OAB}} \leq S_{\triangle{OAC}}S△OAB≤S扇形OAB≤S△OAC，所以带入上面三个式子可得:
12⋅∣sin⁡θ∣≤12⋅∣θ∣≤12⋅∣tan⁡θ∣\frac{1}{2}\cdot{|\sin{\theta}}| \leq \frac{1}{2}\cdot |\theta| \leq \frac{1}{2}\cdot{ |\tan{\theta}} |21⋅∣sinθ∣≤21⋅∣θ∣≤21⋅∣tanθ∣
将每一个式子都乘以2，同时将tan⁡θ\tan{\theta}tanθ写成sin⁡θ/cos⁡θ\sin{\theta} / \cos{\theta}sinθ/cosθ, 得到:
∣sin⁡θ∣≤∣θ∣≤∣sin⁡θcos⁡θ∣|\sin{\theta}| \leq |{\theta}| \leq |\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}| ∣sinθ∣≤∣θ∣≤∣cosθsinθ∣
θ\thetaθ趋近于0而不等于0时，sin⁡θ\sin{\theta}sinθ一定不等于0，所以可以给上式同时除以sin⁡θ\sin{\theta}sinθ，得到:
1≤∣θ∣∣sin⁡θ∣≤1∣cos⁡θ∣1 \leq \frac{|\theta|}{|\sin{\theta}|} \leq \frac{1}{|\cos{\theta|}}1≤∣sinθ∣∣θ∣≤∣cosθ∣1
无论θ\thetaθ是从正数趋于0还是从负数趋于0，上式的绝对值都可以去掉，同时对不等式的所有式子都取倒数后可得：
cos⁡θ≤sin⁡θθ≤1\cos{\theta} \leq \frac{\sin{\theta}} {\theta} \leq 1cosθ≤θsinθ≤1
令θ\thetaθ趋于0，上式中的第一个式子可以直接写出结果，为1，第二个式子是我们最终要求的极限，第三个式子为常量1，所以根据夹逼定理，同时将θ\thetaθ写成xxx，最终可得:
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}} {x} = 1x→0limxsinx=1
证毕。

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