什么是夹逼定理

当 $x$ 趋向 $0$ 时， $\frac{sinx}{x}$ 的极限等于1。如下式：

$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}=1$

但在证明以上极限之前，在我讲三角学之前，我要复习一下极限的另一个内容，那就是夹逼定理。

因为一旦你们理解了夹逼定理就可以用它来证明这个问题，这是一个复杂的阐述，但我认为你们会发现它很巧妙。

并且在理解之后感到满足感。如果你们不能理解，那么就要记住了，因为这是很有用的极限。

稍后我们求三角函数导数时，你们就会知道了。

什么是夹逼定理呢？

夹逼定理是我最喜欢的一个定理。可能因为它里面有squeeze这个词吧。

当你们在微积分的书中读到它的时候，看起来很复杂，但所讲的东西却是显而易见的。

举个例子，如果我告诉你：

Sal总是吃的比Umama多；

Sal总是吃的比Bill少。

所以在任意给定的某天里，Sal总是会吃的比Umama多且比Bill少。

如果我告诉你们星期二，Umama吃了300卡路里，Bill也吃了300卡路里，那么我要问的是：Sal吃了多少卡路里？

那么，我总是比Umama吃得多，多于或者等于Umama并且我总是比Bill吃得少，所以Sal星期二肯定吃了300卡路里。

这就是夹逼定理的要义。

数学术语表示夹逼定理

接下来我会正式地讲解。

但从本质上来说，如果我总是比某物大，而且总是比另一个小，在某点二者相等。那么无论它们等于几，我也必须等于那个数，

被挤在了它们二者中间。Sal总是在Umama和Bill之间，星期二他们吃的一样多，那我也必须吃那么多，或者至少要接近那么多。

我用数学术语表示一下：

这个定理说的是，在某一域上，若 $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$ ，同时我们还知道，当x趋向a时， $g(x)$ 的极限等于 $L$ 以及

当 $x$ 趋向 $a$ 时， $h(x)$ 的极限也等于 $L$ ：

$g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$

$\lim_{x \to a}g(x)=L$

$\lim_{x \to a}h(x) =L$

那么夹逼定理告诉我们：当x趋向a时，f(x)的极限也一定等于L。

（现在我暂时不先证明，先理解夹逼定理讲什么，这对我们是很有帮助的。）

$\lim_{x \to a}f(x)=L$

这和我刚举的例子是一个意思，这里的 $f(x)$ ，可以看成Sal一天吃的， $g(x)$ 是Umama一天吃的， $h(x)$ 是Bill一天吃的。

那么我总是吃的比Umama多，比Bill少。星期二这天，可以认为 $a$ 是星期二。

如果Umama和Bill都吃了300卡路里，那么我也必须是吃了300卡路里。我画图表示一下：

$f(x)$ 总是比绿色的函数大，比 $h(x)$ 小。所以我画的任何 $f(x)$ 必须要在两个之间。

不论怎么画，如果我要画一个函数，必须受这两个函数的约束来定义，必须穿过这一点或者至少要接近这点，

或许函数在这点无定义，但 $x$ 趋向 $a$ 时， $f(x)$ 的极限必须等于 $L$ 。 $f(x)$ 不需要在这点有定义。

那么我们记住：夹逼定理，现在我们要证明 $\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1$ ，我想证明它，是因为它是很有用的一个极限。

另一个原因是，学了夹逼定理后，有时那么可能会想，它在哪里会用到呢？我们将会会看到的。

运用夹逼定理

接下来告诉你如何运用夹逼定理，我们来证明以下极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1$

首先我们先来画个图：

这个是单位圆，单位圆意味着什么？是半径为1的圆，所以这里和这里的距离是1。

如果这个角是x弧度，这条线的长度是多少？

由定义，six表示单位圆上任意一点的纵坐标。所以那个色绿线为sinx。

我问个稍难一点的问题：

什么是正切？正切等于对边比领边。tanx是多少呢？（看到最大三角型）

如果说这是直角三角形，那么就是对边长度比邻边长度。我们称这个长度为o，表示边。

但邻边长度是多少呢？在这个三角形是单位圆，所以邻边等于1.（圆的半径）：

$Tan\frac{o}{1}$

我们现在来讨论图中三个三角形的面积，首先我们来看第一个图形：

你可以看橙色虚线的三角形。首先我们选择较小的这个三角形。

那么它的面积是多少呢？

根据三角型面积公式：二分之一底乘以高。底是1。（圆半径），高是多少呢？我们计算出来了，高就是Sinx。

$\frac{1}{2} * 1 * Sinx$

这就是这个橙色虚线的三角型面积。

继续看第二个图形为扇形：

橙色虚线的扇形的面积是多少？

它比我们刚才算的三角型大一点，对吧？因为它包含三角型和圆弧直接的区域。

那么那段弧形区域的面积是多少？

如果这个角度是 $x$ ， $x$ 弧度，它占整个单位圆的百分比是多少？

一个单位圆有 $2\pi$ 的弧度，那么这个区域面积是多少呢？

它等于x占整个单位圆弧度的百分比，也就是 $x$ 除以整个单位圆的 $2\pi$ 弧度。

$\frac{x }{2\pi}*\pi*r^2=\frac{x}{2}$

所以角度表示的话，是 $x$ 比上360°乘以整个圆的面积。这就能告诉我们扇形占圆的比例了。

面积等于 $\pi*r^2$ ，半径是1，也就是 $r$ 是1。所以整个圆的面积就是 $\pi$ 。

所以 $\pi$ 乘以 $r^2$ ， $r$ 是1，消掉两个 $\pi$ ，等于 $\frac{x}{2}$ ，所以这个扇形的面积等于 $\frac{x}{2}$ 。

所以我们得出这个小三角形， $\frac{1}{2}sinx$ 是小三角形的面积。

这个大一点的扇形的面积是 $\frac{x}{2}$ 。

现在看第三个图形为最大的三角形，如图：（橙色标注）

这个看起来比较明显，那么直角三角型的面积就是 $\frac{1}{2}$ *底*高，底是1（圆半径），高是tanx，所以直角三角型面积等于 $\frac{1}{2}tanx$ 。

那么看这个图应该很清楚，这个最小的三角形的面积都小于扇形，而扇形面积小于最大的三角形。

$\frac{1}{2}sinx < \frac{x}{2} < \frac{1}{2}tanx$

看到这里是不是似曾相识的感觉。

以上的表达式在什么时候成立呢？只要在第一象限就是成立的。

在第四象限也是可以的，但这是sinx是负的，tanx是负的，x也是负的。但如果取绝对值，则第四象限也成立。

因为只要出现负数，取绝对值后，长度仍然有效的。

由于我的目的是求 $x$ 趋向0时的极限，为了极限有定义，必须要从两个方向取极限。

我们求一下两边的绝对值：

$\frac{1}{2}|sinx| < \frac{|x|}{2} < \frac{1}{2}|tanx|$

首先，把所有数乘以2去掉 $\frac{1}{2}$ ，得到：

$|sinx| < {|x|} < |tanx|$

希望绝对值不会迷惑你们。我写的原来的第一象限中的不等式也是有效的。

但由于我想让这个不等式，在第一和第四象限都成立，因为要取两个方向上的极限，所以取了绝对值。

回到我们的问题，上面那个不等式。

我们那个上面那个不等式除以|sinx|，由于|sinx|是个正数，所以这些小于号不变。我们得到如下：

$1<\frac{|x|}{|sinx|}<\frac{1}{|cosx|}$

我们现在要取它们的倒数（注意：小于号要换成大于号），我们得到：

$1>\frac{|sinx|}{|x|}>|cosx|$

现在我来问一个问题：

有没有可能 $\frac{sinx}{x}$ 是在第一和第四象限有可能是负的吗？

在第一象限，sinx是正的，x也是正的。所以 $\frac{sinx}{x}$ 肯定是正数。

在第四象限，sinx是负的，y是负的，这个角也是负的，所以x也是负的，所以 $\frac{sinx}{x}$ 肯定是正数。

同样的逻辑，在第一和第四象限，那是我们讨论的区域，我们考虑的是： $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ 的区间，所以在第一和第四象限，

$cosx$ 会是负的吗？

求余弦的是x，由定义x第一象限和第四象限，x总是正的，如果x一直是正的就可以去掉绝对值符号。

所以这里的绝对值符号有点多余，我们先去掉：

$1>\frac{sinx}{x}>cosx$

现在，我们可以用夹逼定理了。

当 $x$ 趋向于0时，函数1的极限是多少？

函数1总是等于1，所以可以知道 $x$ 趋近于无穷。

当 $x$ 趋向于 $\pi$ 时，它的极限总是会等于1。

$\lim_{x \to 0}1 =1$

所以当 $x$ 趋向0，这个等于1。

$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$

那么当x趋近于0时，cosx的极限是什么呢？

这同样很简单，当 $x$ 趋近0，cos0等于1，如你们知道的。

$\lim_{x \to 0}cosx =1$

它是个连续函数，所以极限是1。

我们已经准备好运用夹逼定理了。

当 $x$ 趋近于0时，这个函数 $\frac{sinx}{x}$ 趋近于1，而这个函数在这二者之间，如果它处于两者之间，当x趋近于0时，这项趋近于1。

当 $x$ 趋近于0时， $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ 也趋近于1，这个在它们之间，所以它也必须在 $x$ 趋近0时，函数趋向1。

我们是基于这个运用了夹逼定理，你们可以说，因此根据夹逼定理，因为不等式成立，所以当x趋近于0时， $\frac{sinx}{x}$ 的极限是1，

希望下面的图能给你们直观的认识。

另一种思考方法，随着红色条线越来越短，当短到长度接近0时，x也接近0。

浅蓝色线的下面区域在慢慢收敛，所以中间那片区域必须向它们两个收敛。

我们说过在-π/2 到 π/2区间，1比 $\frac{sinx}{x}$ 大， $\frac{sinx}{x}$ 比 $cosx$ 大，当然 $x = 0$ 时，这个无定义，但我们可以计算出极限。

图上的蓝色线是函数1，也就是y=1。这条浅蓝色线是cosx，红色线是 $\frac{sinx}{x}$ 。

你们可以看到 $\frac{sinx}{x}$ ，在-π/2到π/2上，或者说第四和第一象限，这条红色线总是在中间，

这就是对夹逼定理一个直观上的说明，我们知道，当 $x$ 趋近于0时，这条浅蓝线是1，还知道，当 $x$ 趋近0时，这条深蓝线也是1。

这条红色的线总是在中间，所以也趋向1，那么现在你们知道了，这个证明用到了夹逼定理以及三角学的一些知识，

证明了为什么x趋向于0时， $\frac{sinx}{x}$ 的极限等于1。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

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