函数极限与数列极限桥梁：Heine定理

先考虑数列极限与函数极限的ε−N\varepsilon-Nε−N定义：

数列极限：对于数列{an}\{a_n\}{an}与实数aaa，如果∀ε>0,∃N(ε),∀n(n>N),∣an−a∣<ε\forall \varepsilon >0,\exist N(\varepsilon),\forall n(n>N),|a_n-a|<\varepsilon∀ε>0,∃N(ε),∀n(n>N),∣an−a∣<ε，则称lim⁡n→∞an=a\lim\limits_{n\to \infty}a_n=an→∞liman=a。
函数极限：对于函数f(x)f(x)f(x)与实数AAA，如果在x0x_0x0的某个去心邻域U∘(x0,Δ)U^\circ(x_0,\Delta)U∘(x0,Δ)内有定义，且∀ε,∃δ(ε),∀x∈(x0−ε,x0+ε)∖{x0},∣f(x)−A∣<ε\forall \varepsilon,\exist\delta(\varepsilon),\forall x\in (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\setminus\{x_0\},|f(x)-A|<\varepsilon∀ε,∃δ(ε),∀x∈(x0−ε,x0+ε)∖{x0},∣f(x)−A∣<ε，则称lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=Ax→x0limf(x)=A。特别当x0=+∞x_0=+\inftyx0=+∞时，其去心邻域代表x>Mx>Mx>M；当x0=−∞x_0=-\inftyx0=−∞时，其去心邻域代表x<Lx<Lx<L。

对比可以发现，数列极限与函数极限的主要区别除了连续与间断，还有，数列极限一定是一个趋向无限的极限，而函数极限则可以趋向于某一点，也可以趋向无限（这里不讨论双侧无限，可以看作是两个单词无限极限相同时的特殊情形）。

Heine定理提供了联系起函数极限与数列极限的桥梁。

Heine定理：lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=Ax→x0limf(x)=A的充分必要条件是，对于任何满足条件lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n\to \infty}x_n=x_0n→∞limxn=x0且xn≠x0x_n\ne x_0xn=x0的数列{xn}\{x_n\}{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn)}成立lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=An→∞limf(xn)=A。

证明：

先证明必要性即lim⁡x→x0f(x)=A⇒lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=Ax→x0limf(x)=A⇒n→∞limf(xn)=A。

由lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=Ax→x0limf(x)=A可知，对于给定的ε\varepsilonε，存在一个δ(ε)\delta(\varepsilon)δ(ε)使得对于0<∣x−x0∣<δ(ε)0<|x-x_0|<\delta(\varepsilon)0<∣x−x0∣<δ(ε)的xxx，都有∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon∣f(x)−A∣<ε。

对于任何满足xn→x0x_n\to x_0xn→x0的数列，给定这个δ(ε)\delta(\varepsilon)δ(ε)，必定存在一个N(ε)N(\varepsilon)N(ε)使得∀n>N(ε)\forall n>N(\varepsilon)∀n>N(ε)，有∣xn−x0∣<δ(ε)|x_n-x_0|<\delta(\varepsilon)∣xn−x0∣<δ(ε)。

又因为xn≠n0x_n\ne n_0xn=n0，所以0<∣xn−x0∣<δ(ε)0<|x_n-x_0|<\delta(\varepsilon)0<∣xn−x0∣<δ(ε)，这就说明∀n>N(ε),∣f(xn)−A∣<ε\forall n>N(\varepsilon),|f(x_n)-A|<\varepsilon∀n>N(ε),∣f(xn)−A∣<ε。这就证明了必要性。

再证明充分性即lim⁡n→∞f(xn)=A⇒lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=An→∞limf(xn)=A⇒x→x0limf(x)=A，用反证法，如果这个命题错误，即对于所有趋向于x0x_0x0但不等于x0x_0x0的数列{xn}\{x_n\}{xn}有f(xn)f(x_n)f(xn)极限为AAA，但至少存在一个函数f(x)f(x)f(x)使得lim⁡x→x0f(x)≠A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\ne Ax→x0limf(x)=A。

那我们不妨就取这样一个极限不为AAA的函数f(x)f(x)f(x)，lim⁡x→x0f(x)≠A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\ne Ax→x0limf(x)=A。由函数极限定义，如果f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处极限不为AAA，那么∃ε0,∀δ>0,∃x0′∈U∘(x0,δ),∣f(x0′)−A∣>ε0\exist\varepsilon_0,\forall \delta>0,\exist x_0'\in U^{\circ}(x_0,\delta),|f(x_0')-A|>\varepsilon_0∃ε0,∀δ>0,∃x0′∈U∘(x0,δ),∣f(x0′)−A∣>ε0。

根据此性质，我们可以取定一个ε0\varepsilon_0ε0，由于对任意δ\deltaδ都有此性质成立，可以取一列{δn}\{\delta_n\}{δn}使得δn→0\delta_n\to 0δn→0，比如δn=1n\delta_n=\dfrac 1nδn=n1。对每一个δn\delta_nδn，都自然地存在一个x0′=xnx_0'=x_nx0′=xn满足
0<∣xn−x0∣<1n,∣f(xn)−A∣>ε0.0<|x_n-x_0|<\frac 1n,\quad |f(x_n)-A|>\varepsilon_0. 0<∣xn−x0∣<n1,∣f(xn)−A∣>ε0.
如此可以构造出一列数列{xn}\{x_n\}{xn}，由于0<∣xn−x0∣<1n→00<|x_n-x_0|<\frac 1n\to 00<∣xn−x0∣<n1→0，所以xn→x0x_n\to x_0xn→x0但xn≠x0,∀nx_n\ne x_0,\forall nxn=x0,∀n。同时，因为∣f(xn)−A∣>ε0|f(x_n)-A|>\varepsilon_0∣f(xn)−A∣>ε0，所以f(xn)f(x_n)f(xn)不以AAA为极限。

以上论证过程，说明任意一个极限不为AAA的函数，都一定存在一个趋向于x0x_0x0但不等于x0x_0x0的数列{xn}\{x_n\}{xn}，满足f(xn)↛Af(x_n)\nrightarrow Af(xn)↛A。那么，如果所有趋向于x0x_0x0但不等于x0x_0x0的数列{xn}\{x_n\}{xn}都有f(xn)→Af(x_n)\to Af(xn)→A，那么一定就有f(x)→Af(x)\to Af(x)→A。充分性得证。

关于Heine定理，需要注意的一点是，趋向于x0x_0x0的数列{xn}\{x_n\}{xn}必须满足xn≠x0x_n\ne x_0xn=x0这个条件，否则定理内容是不成立的。比如符号函数sgn(x){\rm sgn}(x)sgn(x)的绝对值g(x)=∣sgn(x)∣g(x)=|{\rm sgn}(x)|g(x)=∣sgn(x)∣，满足lim⁡x→0g(x)=1\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1x→0limg(x)=1，但是其收敛于000的数列{xn},xn=0\{x_n\},x_n=0{xn},xn=0有lim⁡n→∞f(xn)=0\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=0n→∞limf(xn)=0，其原因就是因为不满足xn≠x0=0x_n\ne x_0=0xn=x0=0的条件。

Heine定理常用于证明函数极限不存在，最典型的例子就是f(x)=sin⁡1xf(x)=\sin \dfrac 1xf(x)=sinx1，构造两个子列：
xn(1)=1nπ,xn(2)=12nπ+π/2,x_n^{(1)}=\frac {1}{n\pi},\quad x_n^{(2)}=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}, xn(1)=nπ1,xn(2)=2nπ+π/21,
由f(xn(1))→0,f(xn(2))→1f(x_n^{(1)})\to 0,f(x_n^{(2)})\to 1f(xn(1))→0,f(xn(2))→1就说明f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处不存在极限。

如果我们不关心函数收敛到的值，只从函数自身的情况出发判断函数极限存在性，那么Heine定理可以改成以下形式：lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)x→x0limf(x)存在的充要条件是，对于任意满足条件lim⁡x→∞xn=x0\lim\limits_{x\to \infty}x_n=x_0x→∞limxn=x0且xn≠x0x_n\ne x_0xn=x0的数列{xn}\{x_n\}{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn)}收敛。

这个定理的充分性，只要注意到当f(x)f(x)f(x)不收敛时，一定存在两个不同极限的数列{xn(1)}\{x_n^{(1)}\}{xn(1)}和{xn(2)}\{x_n^{(2)}\}{xn(2)}，将它们交错构成一个新数列，这个新数列的函数值列不收敛。

由此可以推出函数极限的Cauchy收敛准则：函数极限lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)x→+∞limf(x)存在且有限的充要条件是，对于任何给定的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在X>0X>0X>0，使得对于一切x′>X,x′′>Xx'>X,x''>Xx′>X,x′′>X，有∣f(x′)−f(x′′)∣<ε|f(x')-f(x'')|<\varepsilon∣f(x′)−f(x′′)∣<ε。

由于Heine定理联系了离散态的数列极限和连续态的函数极限，因此求在无限远处的函数极限，常常可以用“夹逼”的方法，用前后两个自然数的极限夹逼得到连续函数在无限处的极限。

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