#欧拉余数定理算法

对于 A^B mod C
（网上的算法基本上不见考虑 A ，C 不互质的情况，显然是残缺的）

1.如果 A ，C 不互质（互质：两个数做因式分解，公共因子只有1）
通过约分使得新的C1与A互质，如果C1与A不互质，则重复此步骤。
记录的约数积Y 和商S积

2 如果 A 大于 C ，则A = A %C

3 求C的欧拉函数值euler

4 如果B不小于euler， B=B%euler

5 计算 e=A^B ，此时A，B已经较小了

6 A^B mod C =（e*S %C）*Y

举个例子：15 ^6mod12 = 9

```
  A=15
```
```
  B=6
```
```
  C=12
```

一，15,12有约数3：

```
  A=15
```
```
  B=B-1=5
```
```
  C=12/3=4
```
```
  Y=3
```
```
  S=15/3=5
```

二 A>C:

```
  A=A%C=15%4=3
```

三求C的欧拉函数值：

```
  euler（4）=2
```

四 :

```
   B=B%euler=5/2=1
```

五计算：

```
   e=A^B  =3 ^ 1=3
```

六 :

  A^B  mod C =(e*S %C )*Y = 3* 5%4*3=15%4*3=3*3=9

代码

public class Mod {public static int  powerMod(int a,int pow,int n) {int factor=coprime(a,n);int multiplier=1;int quotient=1;int cya=a;int cyn=n;int cypow=pow;while(factor>0&&cypow>1) {multiplier*=factor;quotient*=cya/factor;cyn/=factor;cypow--;factor=coprime(cya,cyn);}if(cya>cyn) {cya%=cyn;}int euler = eulerFunction(cyn);if(cypow>euler&&euler>0) {cypow%=euler;}int ret=1;if(cya==0) {ret=0;}else if(cypow==0) {ret=1;}while(cypow>0) {ret*=cya;cypow--;}return (quotient*ret%cyn)*multiplier;}public static int  eulerFunction(int n) {if(isPrimeNumber(n)) {return n-1;}int count=0;for(int i=1;i<n;i++) {if(coprime(i,n)<0) {count+=1;}}return count;}public static int coprime(int a,int b) {int min = Mod.min(a,b);for(int i=2;i<=min;i++) {if(a%i==0) {if(b%i==0) {return i;}}}return -1;        }public static <E extends Comparable<E>> E min(E ... pars) {Objects.requireNonNull(pars);if(pars.length==0) {throw new NullPointerException();}E min=pars[0];for(int i=1;i<pars.length;i++) {if(min.compareTo(pars[i])>0) {min=pars[i];}}return min;       }
}

测试欧拉函数

     for(int i=1;i<21;i++) {System.out.println(i+"->"+eulerFunction(i));}

1->0
2->1
3->2
4->2
5->4
6->2
7->6
8->4
9->6
10->4
11->10
12->4
13->12
14->6
15->8
16->8
17->16
18->6
19->18
20->8

测试模方法

手工单个检验无疑是不可取得，所以使用BigInteger 进行结果检验。
A C 的值一定要取小点，原因在下文。

     for(int i=1;i<10;i++) {int a=(int) (Math.random()*20);int b=(int) (Math.random()*1000+1);int c=(int) (Math.random()*20+1);System.out.println(a+" ^ "+b+" mod "+c);System.out.print("powerMod "+powerMod(a,b,c));BigInteger big=BigInteger.valueOf(a);System.out.println(" vs " +" big "+big.modPow(BigInteger.valueOf(b), BigInteger.valueOf(c)));}

13 ^ 214 mod 2
powerMod 1 vs big 1
12 ^ 178 mod 16
powerMod 0 vs big 0
6 ^ 73 mod 16
powerMod 0 vs big 0
3 ^ 890 mod 13
powerMod 9 vs big 9
6 ^ 572 mod 17
powerMod -5 vs big 13
8 ^ 805 mod 2
powerMod 0 vs big 0
15 ^ 665 mod 18
powerMod 9 vs big 9
10 ^ 290 mod 2
powerMod 0 vs big 0
17 ^ 149 mod 6
powerMod 5 vs big 5

很容易发现有个异常值：
6 ^ 572 mod 17
powerMod -5 vs big 13
不难想到原因定是整型溢出。
可以推敲一下。
euler（17）=16
572%16=12
6 ^ 12 = 3 ^ 24
int=2^31-1< 2 ^32
3 ^ 24 /2 ^ 32=(3/2) ^ 24 / (2 ^ 8 )
3/2=1.5>2 ^ (1/2)=1.414
(3/2) ^ 24 / (2 ^ 8 ) > ( 2 ^ (1/2) ) ^ 24 / (2 ^ 8 ) =2 ^ 12 / 2 ^8=16
至少大了16倍，所以必然出错。

解决方案：
将int 包装成 BigInteger 即可。

增加本算法与BigInteger.modPow()时间效率的对比，不禁感叹源码的神奇。

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