问题

函数 y=22√sinxcosx+sinx+cosxy=2\sqrt{2}\sin x\cos x+\sin x+\cos x 的最大值是多少？(填空题)

解答

看到一本书上说下面的思路是错误的：
y=2√sin2x+2√sin(x+π4)y=\sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)

=22√sin⎛⎝⎜3x+π42⎞⎠⎟cos⎛⎝⎜x−π42⎞⎠⎟=2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{3x+\dfrac{\pi}4}2\right)\cos\left(\dfrac{x-\dfrac{\pi}4}2\right)

但是实际上到这里解已经可以看到。因为正余弦函数值都不大于1，显然：

y=22√sin⎛⎝⎜3x+π42⎞⎠⎟cos⎛⎝⎜x−π42⎞⎠⎟≤22√

y=2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{3x+\dfrac{\pi}4}2\right)\cos\left(\dfrac{x-\dfrac{\pi}4}2\right)\le 2\sqrt{2}

只须代入 x=π4x=\dfrac{\pi}4 这个特殊值就能发现，恰好能够取到最大值。思路和结果看上去都很不错。

但是，评析人更希望的是，变量代换， u=sinx+cosx∈[−2√,2√]u=\sin x+\cos x \in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right] ，然后得到关于uu 的二次多项式，在此区间上求最大值得到同样的结果。

这不是死盯着单一的解法讲“方法”吗？

而且还提供了一种明显要盲目假设 sinx=cosx\sin x=\cos x 时取最大值的错误思路。这简直是明知道答案之后反向找解法。完全是荒谬缺乏实战价值的所谓方法。

批评一下。

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