欧拉函数：求小于等于n且与n互质的数的个数

求小于等于n且与n互质的数的个数

互质穷举法

互质：两个数互质代表两者最大公约数为1
最大公约数求法：辗转相除法，最小公倍数：较大值除以最大公约数乘以较小值

辗转相除法：

较大的数a取模较小的数b，得取模值c
若取模值等于0 则最大公约数为取模值，否则继续下一步
a与c再次取模，回到第二步

//求最大公约数gcd以及最大公倍数lcm// 36 24 36/24// 24 12 24/12// 0 结束最大公约数为12// 求最小公倍数// lcm(a, b) = (a * b)/gcd(a, b)public static int gcd(int a, int b){//a>=b//辗转相除法if (b==0){return a;}return gcd(b,a%b);}

穷举到n，一一判断该数与n的最大公约数是否为1，即是否为互质

结论：可以实现，但时间复杂度太高

采取欧拉函数进行求取

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目.

n为正整数n，p1、p2 ……pn 为正整数n的质因数

n的质因数：既是n的因数，又是质数的数

计算方法：
ϕ(n)=n×(p1−1p1)×(p2−1p2)⋯×(pn−1pn)\phi (n) = n \times (\frac{p_1-1}{p_1})\times (\frac{p_2-1}{p_2})\cdots\times (\frac{p_n-1}{p_n}) ϕ(n)=n×(p1p1−1)×(p2p2−1)⋯×(pnpn−1)
例：
ϕ(10)=10×12×45=4\phi (10) = 10 \times \frac{1}{2}\times \frac{4}{5} = 4 ϕ(10)=10×21×54=4

质数的求法：因数只有1和其本身
1. 单个质数n的判断
  
  依次判断2到$ \sqrt{n} $的数被n取模的值是否等于零，存在任意一个即不为质数
  
  当p大于n\sqrt{n}n时，代表数p一定可以得到一个小于!n\sqrt{n}n的数和一个大于n\sqrt{n}n的成对因数，不为质数
2. 从2到n的质数的判断
  
  非穷举，穷举时间复杂度为O(n)，使用素数筛法为O(log⁡n\log_{}{n}logn)
  
  为保证效率，质数为false，合数为true
  1. 标记2到n的数都为质数，为false，布尔数组默认值为false，无需再一一标记
  2. 从2开始标记数，找到第一个为false的数p
  3. 标记数p的倍数为合数，即为true，倍数标记从 p×pp \times pp×p 开始，直至数p等于$ \sqrt{n} $，结束标记
    
    原因：
    
    p的倍数的因数必有p，不符合质数条件，每次从 p×pp \times pp×p 开始标记是由于p−pp-pp−p的部分已经进行了标记，不再重复标记，

使得下一个数p 为未被标记为合数的数，即数值仍为false的数，重复第三步
将标记为false 的，即为质数的全部输出

采取素数筛法求取质数时，可将倍数标记的操作修改为乘以(1-1/p)，使得每一个数都能乘以其质因数

依次存入数组中，最后统一依次输出结果。

public static int f1(int n){int res = n;for (int i = 2;i*i<=n;i++){if (n % i==0){res = res / i*(i-1);//res/iwhile (n % i == 0){n/=i;}}}if (n>1){res = res/n*(n-1);}return res;}//区间内欧拉函数取值public static int[] f2(int n){int[] count = new int[n+1];for (int i = 1;i <= n;i++){count[i]=i;}for (int i =2 ;i <= n;i++){if (count[i] == i){for (int j = i;j <= n;j+=i){count[j] = count[j]/i*(i-1);}}}return count;}

知识点：

最大公约数、最小公倍数
单一质数判断
质数筛法：埃氏筛法
欧拉函数

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